EQUATIONS
Correction des exercices **

Exercice 1

Soit x le nombre de DVD loués. On doit trouver x tel que les deux tarifs soient identiques, c'est-à-dire lorsque :
\begin{align*} &1.5x=x+8\\ &1.5x-x=8\\ &0.5x=8\\ &x=\frac{8}{0.5}\\ &x=16 \end{align*}
Cette équation admet une unique solution : 16. Lorsque le nombre de DVD loués est égal à 16, les tarifs des deux magasins sont identiques.

Exercice 2

Prix d’une séance après réduction :
5\times \left(1-\frac{40}{100}\right)=5\times 0.6=3
Une séance après réduction coûte 3€.
Soit x le nombre de séances.
Les deux formules sont identiques lorsque :
\begin{align*} &5x=20+3x\\ &5x-3x=20\\ &2x=20\\ &x=\frac{20}{2}\\ &x=10 \end{align*}
Cette équation admet une unique solution : 10. Lorsque le nombre de séances est égal à 10, les deux formules sont à prix identique.

Exercice 3

\begin{align*} &(x-1)(2x+6)+(x-1)(4x-3)=0\\ &\boxed{(x-1)}(2x+6)+\boxed{(x-1)}(4x-3)=0\\ &(x-1)\left[(2x+6)+(4x-3)\right]=0\\ &(x-1)(2x+6+4x-3)=0\\ &(x-1)(6x+3)=0\\ &3(x-1)(2x+1)=0 \end{align*}
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} x-1=0 \qquad & 2x+1=0\\ x=1 \qquad & 2x=-1\\ \qquad & x=-\frac{1}{2}=-0.5 \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : 1 et -0,5.


\begin{align*} &(5x-1)(3x+2)-(5x-1)(x+7)=0\\ &\boxed{(5x-1)}(3x+2)-\boxed{(5x-1)}(x+7)=0\\ &(5x-1)\left[(3x+2)-(x+7)\right]=0\\ &(5x-1)(3x+2-x-7)=0\\ &(5x-1)(2x-5)=0 \end{align*}
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} 5x-1=0 \qquad & 2x-5=0\\ 5x=1 \qquad & 2x=5\\ x=\frac{1}{5} \qquad & x=\frac{5}{2}\\ x=0.2 \qquad & x=2.5 \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : 0,2 et 2,5.


\begin{align*} &(5x+3)^{2}=(3x-7)^{2}\\ &(5x+3)^{2}-(3x-7)^{2}=0\\ &\left[(5x+3)+(3x-7)\right]\left[(5x+3)-(3x-7)\right]=0\\ &(5x+3+3x-7)(5x+3-3x+7)=0\\ &(8x-4)(2x+10)=0\\ &4(2x-1)\times 2(x+5)=0\\ &8(2x-1)(x+5)=0 \end{align*}
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} 2x-1=0 \qquad & x+5=0\\ 2x=1 \qquad & x=-5\\ x=\frac{1}{2} \qquad & \\ x=0.5 \qquad & \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : 0,5 et -5.


\begin{align*} &(-2x+3)(6x+1)+(3-2x)(2x-5)=0\\ &\boxed{(3-2x)}(6x+1)+\boxed{(3-2x)}(2x-5)=0\\ &(3-2x)\left[(6x+1)+(2x-5)\right]=0\\ &(3-2x)(6x+1+2x-5)=0\\ &(3-2x)(8x-4)=0\\ &(3-2x)\times 4 \times (2x-1)=0\\ &4(3-2x)(2x-1) \end{align*}
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} 3-2x=0 \qquad & 2x-1=0\\ 2x=3 \qquad & 2x=1\\ x=\frac{3}{2} \qquad & x=\frac{1}{2}\\ x=1.5 \qquad & x=0.5 \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : 1,5 et 0,5.


\begin{align*} &(2x-5)^{2}=(2x-5)(x+1)\\ &(2x-5)^{2}-(2x-5)(x+1)=0\\ &\boxed{(2x-5)}(2x-5)-\boxed{(2x-5)}(x+1)=0\\ &(2x-5)\left[(2x-5)-(x+1)\right]=0\\ &(2x-5)(2x-5-x-1)=0\\ &(2x-5)(x-6)=0 \end{align*}
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} 2x-5=0 \qquad & x-6=0\\ 2x=5 \qquad & x=6\\ x=\frac{5}{2} \qquad & \\ x=2.5 \qquad & \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : 2,5 et 6.
Correction des exercices d'application sur les équations du premier degré pour la troisième (3ème)
© Planète Maths