EQUATIONS

I) RAPPELS

A) Définitions

Exemple 1 : 3 + 4 = 7
Le membre de gauche de l’équation est 3 + 4, le membre de droite est 7 et l’inconnue est .
Pour résoudre cette équation, on doit chercher toutes les valeurs de  qui vérifient cette égalité.
Ici, lorsque  = 1, on a bien 3 + 4 = 7 donc 1 est solution de cette équation.
Si on prend  = 2, 3 + 4 = 3 × 2 + 4 = 10 ≠ 7 donc 2 n’est pas solution de cette équation.

B) Propriétés

Exemple 2 :

(On a rajouté 3 dans chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l’équation  + 11 = 3 sont identiques à celles de l'équation  + 8 = 3 - 3.

Exemple 3 :

(On a enlevé  dans chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l’équation 2 - 3 = 8 sont identiques à celles de l'équation  + 8 = 3 - 3.
Exemple 4 :

(On a multiplié par 2 chaque membre de l’équation).
Les solutions de l’équation  + 2 = 14 sont identiques à celles de l'équation + 1 = 7.

Exemple 5 :

(On a divisé par  chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l’équation 4 = 3 sont identiques à celles de l'équation 42 = 3.



II) RESOLUTION D'EQUATIONS

A) Equations du premier degré

Exemple 6 :

On regroupe les termes contenant l’inconnue dans un membre de l’égalité et les autres termes dans l’autre membre en utilisant les propriétés vues dans le I. L’objectif est d’isoler l’inconnue et d’avoir au final l’ensemble des valeurs qui sont solutions de cette équation.

B) Equations du second degré

1) Equations du type 2 = a

Nous avons déjà traité ce type d’équations dans le chapitre consacré aux racines carrées.

2) Equation produit nul

Définition
On appelle « équation produit » une équation qui s’écrit sous la forme d’un produit de facteurs égal à 0.


Exemple :
(3 + 4)(2 - 5) = 0

Propriété
Un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. En effet, si le produit de a par b vaut 0 (ab = 0), alors soit a = 0, soit b = 0, soit a = b = 0. Réciproquement, si un facteur est nul, alors le produit est nul. En effet, si a = 0, le produit ab est nul.

Exemple 7 :
Résoudre ( + 12)(3 - 5) = 0
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :

Cette équation admet deux solutions : -12 et .

Exemple 8 : Résoudre ( + 5)2 = (2 - 3)2.

Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :

Cette équation admet deux solutions : et 8.
Cours sur les équations
© Planète Maths