EQUATIONS
Cours

I) Rappels

A) Définitions

Définition
Une équation est une égalité entre deux expressions mathématiques appelées « membres de l’équation » et dans laquelle une ou plusieurs inconnues figurent.
L’inconnue est la valeur que l’on cherche à déterminer. On utilise très souvent une lettre (x par exemple).
Résoudre une équation consiste à déterminer la valeur (ou les valeurs) des inconnues pour laquelle (ou lesquelles) l’égalité est vérifiée.

Exemple 1 : 3x+4=7
Le membre de gauche de l’équation est 3x+4, le membre de droite est 7 et l’inconnue est x.
Pour résoudre cette équation, on doit chercher toutes les valeurs de x qui vérifient cette égalité.
Ici, lorsque x=1, on a bien 3x+4=7 donc 1 est solution de cette équation.
Si on prend x=2, 3x+4=3\times 2 + 4 =10 \neq 7 donc 2 n’est pas solution de cette équation.

B) Propriétés

Propriété
Si on ajoute ou retranche aux deux membres d’une équation une même quantité, alors on ne modifie pas les solutions de cette équation.

Exemple 2 :
\begin{align*} &x+8=3x-3\\ &x+8 \text{ } {\color{red} + \text{ } 3}=3x-3\text{ } {\color{red} + \text{ } 3}\\ &x+11=3x \end{align*}
(On a rajouté 3 dans chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l'équation x+11=3x sont identiques à celles de l'équation x+8=3x-3.

Exemple 3 :
\begin{align*} &x+8=3x-3\\ &x+8\text{ } {\color{red} - \text{ } x}=3x-3\text{ } {\color{red} - \text{ } x}\\ &8=2x-3 \end{align*}
(On a enlevé x dans chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l’équation 2x-3=8 sont identiques à celles de l'équation x+8=3x-3.

Propriété
Si on multiplie ou si on divise les deux membres d’une équation par une même quantité non nulle, alors on ne modifie pas les solutions de cette équation.

Exemple 4 :
\begin{align*} &\frac{1}{2}x+1=7\\ &\left(\frac{1}{2}x+1\right) {\color{red} \times \text{ } 2}=7\text{ } {\color{red} \times \text{ } 2}\\ &x+2=14 \end{align*}
(On a multiplié par 2 chaque membre de l’équation).
Les solutions de l'équation x+2=14 sont identiques à celles de l'équation (1/2)x+1=7.

Exemple 5 :
\begin{align*} &4x^{2}=3x\\ &\frac{4x^{2}}{\color{red}x}=\frac{3x}{\color{red}x}\\ &4x=3 \end{align*}
(On a divisé par x chaque membre de l’équation.)
Les solutions de l’équation 4x=3 sont identiques à celles de l'équation 4x^{2}=3x.


II) Résolution d'équations

A) Equations du premier degré

Exemple 6 :
\begin{align*} &x+7=9\\ &x=9-7\\ &x=2 \end{align*}


\begin{align*} &2x-1=-3\\ &2x=-3-(-1)\\ &2x=-3+1\\ &2x=-2\\ &x=\frac{-2}{2}\\ &x=-1 \end{align*}


\begin{align*} &3x+5=4\\ &3x=4-5\\ &3x=-1\\ &x=-\frac{1}{3} \end{align*}


\begin{align*} &x+3=2x-1\\ &x-2x+3=-1\\ &-x=-1-3\\ &-x=-4\\ &x=\frac{-4}{-1}\\ &x=4 \end{align*}


\begin{align*} &2x-5=7x+4\\ &2x-7x-5=4\\ &-5x-5=4\\ &-5x=4-(-5)\\ &-5x=4+5\\ &-5x=9\\ &x=\frac{9}{-5}=-\frac{5}{9} \end{align*}

On regroupe les termes contenant l’inconnue dans un membre de l’égalité et les autres termes dans l’autre membre en utilisant les propriétés vues dans le I. L’objectif est d’isoler l’inconnue et d’avoir au final l’ensemble des valeurs qui sont solutions de cette équation.

B) Equations du second degré

1) Equations du type x^{2}=a

Nous avons déjà traité ce type d’équations dans le chapitre consacré aux racines carrées.

2) Equation produit nul

Définition
On appelle « équation produit » une équation qui s’écrit sous la forme d’un produit de facteurs égal à 0.


Exemple : (3x+4)(2x-5)=0

Propriété
Un produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. En effet, si le produit de a par b vaut 0 (ab=0), alors soit a=0, soit b=0, soit a=b=0. Réciproquement, si un facteur est nul, alors le produit est nul. En effet, si a=0, alors le produit ab est nul.

Exemple 7 :
Résoudre (x+12)(3x-5)=0.
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} x+12=0 \qquad & 3x-5=0\\ x=-12 \qquad & 3x=5 \\ \qquad & x=\frac{5}{3} \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : -12 et .

Exemple 8 : Résoudre (x+5)^{2}=(2x-3)^{2}.
\begin{align*} &(x+5)^{2}=(2x-3)^{2}\\ &(x+5)^{2}-(2x-3)^{2}=0 \end{align*}
On utilise l'identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).
\begin{align*} &\left[(x+5)+(2x-3)\right]\times \left[(x+5)-(2x-3)\right]=0\\ &(x+5+2x-3)(x+5-2x+3)=0\\ &(3x+2)(8-x)=0 \end{align*}
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} 3x+2=0 \qquad & 8-x=0\\ 3x=-2 \qquad & x=8 \\ \qquad & x=-\frac{2}{3} \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : et 8.
Cours sur les équations du premier degré pour la troisième (3ème)
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