RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Sujet des exercices *

Exercice 1

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N}\), nous avons : \[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. \]

Exercice 2

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N^{*}}\), nous avons : \[ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}. \]

Exercice 3

Démontrer que pour tout \(n\in \mathbb{N^{*}}\), nous avons : \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}. \]

Exercice 4

Soit la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie par \(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+1}\).
1) Démontrer que \(\forall n\in \mathbb{N}\), \(0 < u_{n} < 2\).
2) Démontrer que la suite \(u_{n}\) est croissante.

Exercice 5

Considérons la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_{0}=5\) et par \[ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{u_{n}+1}. \] 1) Calculer \(u_{1}\), \(u_{2}\) et \(u_{3}\).
2) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_{n} \leq 5\).
3) Conjecturer les variations de \(u_{n}\).
4) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\) par \[ f(x)=\frac{x}{x+1}. \] Etudier les variations de cette fonction.
5) Démontrer par récurrence la conjecture effectuée à la question 2 à partir du résultat de la question 3.

Exercice 6

Soit \(x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[ \sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}. \]

Exercice 7

Démontrer par récurrence que pour tout réel \(x \geq -1\) et tout entier naturel \(n\), nous avons : \[ (1+x)^{n} \geq 1+nx. \]

Exercice 8

1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[ 3^{n} \geq 2n+1. \] 2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\) : \[ 2^{n} \geq n+1. \]

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