RAISONNEMENT PAR RECURRENCE
Correction des exercices *

Exercice 1

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. \] Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons d'une part : \[ \sum_{k=0}^{0}k=0, \] et d'autre part : \[ \frac{0(0+1)}{2}=0, \] donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} \sum_{k=0}^{n+1}k&=\sum_{k=0}^{n}k+(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\ &=(n+1)\left(\frac{n}{2}+1\right) \\ &=(n+1)\left(\frac{n+2}{2}\right) \\ &=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align*} \] La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\quad \forall n\in\mathbb{N}}. \]

Exercice 2

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}. \] Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part : \[ \sum_{k=1}^{1}k(k+1)=1\times 2=2, \] et d'autre part : \[ \frac{1(1+1)(1+2)}{3}=\frac{6}{3}=2, \] donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ \sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}k(k+1)&=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)+(n+1)(n+2)\\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2)\\ & \text{ (par hypothèse de récurrence)}\\ &=(n+1)(n+2)\left(\frac{n}{3}+1\right) \\ &=(n+1)(n+2)\left(\frac{n+3}{3}\right) \\ &=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\\ &=\frac{(n+1)\left((n+1)+1\right)\left((n+2)+1\right)}{3} \end{align*} \] La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{\sum_{k=1}^{n}k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}, \quad \forall n\in\mathbb{N}^{*}}. \]

Exercice 3

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}. \] Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons d'une part : \[ \sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}, \] et d'autre part : \[ 1-\frac{1}{1+1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \] donc \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 1\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\ &=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}\\ & \text{ (par hypothèse de récurrence)}\\ &=1-\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+2}\\ &=1-\frac{1}{(n+1)+1} \end{align*} \] La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}, \quad \forall n\in \mathbb{N}^{*}}. \]

Exercice 4

1) Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \(0 < u_{n} < 2\).

Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(1)\) est vraie.
Nous avons \(0 < u_{0} < 2 \) car \(u_{0}=1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ 0 < u_{n} < 2. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} & 0 < u_{n} < 2 \\ \Longleftrightarrow{} & 0+1 < u_{n}+1 < 2+1 \\ \Longleftrightarrow{} & 1 < u_{n}+1 < 3 \\ \Longleftrightarrow{} & \sqrt{1} < \sqrt{u_{n}+1} < \sqrt{3} \\ & \text{ (par croissance de la fonction racine carrée)} \\ \Longleftrightarrow{} & 1 < u_{n+1} < \sqrt{3} \\ \Longleftrightarrow{} & 1 < u_{n+1} < \sqrt{3} < 2 \\ \Longleftrightarrow{} & 1 < u_{n+1} < 2 \end{align*} \] La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{0 < u_{n} < 2, \quad \forall n\in\mathbb{N}}. \]

2) Nous devons montrer par récurrence que la suite \((u_{n})\) est croissante, c'est-à-dire montrer que \(u_{n}\leq u_{n+1}\) \(\forall n\in\mathbb{N}\).
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \(u_{n}\leq u_{n+1}\).

Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons \(u_{0}=1\) et \(u_{1}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}>1\), donc \(u_{0} < u_{1}\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ u_{n}\leq u_{n+1} \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie (c'est-à-dire que nous avons \(u_{n+1}\leq u_{n+2}\)).
Nous avons : \[ \begin{align*} &u_{n}\leq u_{n+1}\\ \Longleftrightarrow{} & u_{n}+1 \leq u_{n+1}+1 \\ \Longleftrightarrow{} & \sqrt{u_{n}+1} \leq \sqrt{u_{n+1}+1} \\ & \text{ (par croissance de la fonction racine carrée)} \\ \Longleftrightarrow{} & u_{n+1} \leq u_{n+2} \end{align*} \] La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{\text{La suite }(u_{n})\text{ est croissante.}} \]

Exercice 5

1) Calcul de \(u_{1}\) : \[ \begin{align*} u_{1}&=\frac{u_{0}}{u_{0}+1} \\ &=\frac{5}{5+1} \\ &=\frac{5}{6} \end{align*} \] Calcul de \(u_{2}\) : \[ \begin{align*} u_{2}&=\frac{u_{1}}{u_{1}+1} \\ &=\displaystyle\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}+1} \\ &=\displaystyle\frac{\frac{5}{6}}{\frac{11}{6}} \\ &=\frac{5}{11} \end{align*} \] Calcul de \(u_{3}\) : \[ \begin{align*} u_{3}&=\frac{u_{2}}{u_{2}+1} \\ &=\displaystyle\frac{\frac{5}{11}}{\frac{5}{11}+1} \\ &=\displaystyle\frac{\frac{5}{11}}{\frac{16}{11}} \\ &=\frac{5}{16} \end{align*} \]
2) Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ 0 < u_{n} \leq 5. \]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons \(u_{0}=5\) donc \(0 < u_{0} \leq 5\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ 0 < u_{n} \leq 5. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} & 0+1 < u_{n}+1 \leq 5+1 \\ & 1 < u_{n}+1 \leq 6 \\ & \frac{1}{6} < \frac{u_{n}}{u_{n}+1} \leq \frac{5}{1} \\ & \frac{1}{6} < \frac{u_{n}}{u_{n}+1} \leq 5 \\ & 0 < \frac{u_{n}}{u_{n}+1} \leq 5 \\ & 0 < u_{n+1} \leq 5, \end{align*} \] La propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{0 < u_{n} \leq 5, \quad \forall n\in \mathbb{N}}. \]
3) Nous observons que \(u_{0} > u_{1} > u_{2} > u_{3}\).
Nous pouvons effectuer la conjecture suivante :
La suite \(u_{n}\) définie pour tout \(n\in \mathbb{N}\) est strictement décroissante.
4) La fonction \(f\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\) et sa dérivée est : \[ \begin{align*} f'(x)&=\frac{1\times (x+1)-x\times 1}{(x+1)^{2}}\\ &=\frac{x+1-x}{(x+1)^{2}}\\ &=\frac{1}{(x+1)^{2}}\\ &>0 \end{align*} \] Donc la fonction \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\setminus \{-1\}\).

5) Nous devons démontrer par récurrence que la suite \(u_{n}\) est décroissante, c'est-à-dire que pour tout \(n\in \mathbb{N}\), \(u_{n} > u_{n+1}\).
Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ u_{n} > u_{n+1}. \]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons \(u_{0}=5\) et \(u_{1}=\frac{5}{6}\), donc \(u_{0} > u_{1}\) et \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ u_{n} > u_{n+1}. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Par hypothèse de récurrence : \[ u_{n} > u_{n+1}. \] Par croissance de la fonction \(f\), nous avons : \[ f(u_{n}) > f(u_{n+1}), \] c'est-à-dire : \[ u_{n+1} > u_{n+2}, \] donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{\text{La suite }u_{n}\text{ est décroissante.}} \]

Exercice 6

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ \sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, \quad \forall x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}. \] Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons d'une part \[ \sum_{k=0}^{0}x^{k}=x^{0}=1, \] et d'autre part \[ \frac{1-x^{0+1}}{1-x}=\frac{1-x}{1-x}=1, \] donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\) et \(x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ \sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, \quad \forall x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} \sum_{k=0}^{n+1}x^{k}&=\sum_{k=0}^{n}x^{k}+x^{n+1}\\ &=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}+x^{n+1}\\ &\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\ &=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}(1-x)}{1-x}\\ &=\frac{1-x^{n+1}+x^{n+1}-x^{n+2}}{1-x}\\ &=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}\\ &=\frac{1-x^{(n+1)+1}}{1-x}\\ \end{align*} \] donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, \quad \forall x\in \mathbb{R} \setminus \{1\}, \forall n\in \mathbb{N}}. \]

Exercice 7

Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ (1+x)^{n} \geq 1+nx, \quad \forall x \geq -1. \] Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons d'une part : \[ (1+x)^{0}=1, \] et d'autre part \[ 1+0\times x=1, \] Comme \(1 \geq 1\), \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ (1+x)^{n} \geq 1+nx. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Par hypothèse de récurrence : \[ (1+x)^{n} \geq 1+nx. \] En multipliant par \(1+x \geq 0\) (car \(x \geq -1\)) des deux côtés de l'inégalité, celle-ci ne change pas de sens : \[ (1+x)^{n}(1+x) \geq (1+nx)(1+x) \] En réécrivant cette inégalité : \[ \begin{align*} (1+x)^{n+1} & \geq (1+nx)(1+x) \\ (1+x)^{n+1} & \geq 1+x+nx+nx^{2} \\ (1+x)^{n+1} & \geq 1+(n+1)x+nx^{2} \\ (1+x)^{n+1} & \geq 1+(n+1)x \end{align*} \] car \(nx^{2} \geq 0\), donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion : \[ \boxed{(1+x)^{n} \geq 1+nx, \quad \forall x \geq -1, \forall n\in \mathbb{N}}. \]

Exercice 8

1) Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ 3^{n} \geq 2n+1. \] Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons d'une part \[ 3^{0}=1, \] et d'autre part \[ 2\times 0+1=1, \] \(3^{0} \geq 2\times 0+1\), donc \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ 3^{n} \geq 2n+1. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} 3^{n+1}&=3^{n}\times 3\\ &\geq (2n+1)\times 3 \\ &\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\ &\geq 6n+3 \\ &\geq 2n+3 \\ &\geq 2(n+1)+1 \end{align*} \] donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{3^{n} \geq 2n+1, \quad \forall n \in \mathbb{N}}. \]
2) Soit \(\mathcal{P}(n)\) la propriété : \[ 2^{n} \geq n+1. \]
Initialisation : Vérifions que \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.
Nous avons d'une part \[ 2^{0}=1, \] et d'autre part \[ 0+1=1, \] Comme \(2^{0} \geq 0+1\), \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité : Soit un entier \(n \geq 0\). Supposons que la propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie : \[ 2^{n} \geq n+1. \] Montrons alors que la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.
Nous avons : \[ \begin{align*} 2^{n+1}&=2^{n}\times 2\\ &\geq (n+1)\times 2 \\ &\text{ (par hypothèse de récurrence)}\\ &\geq 2n+2 \\ &\geq n+2 \\ &\geq (n+1)+1 \end{align*} \] donc la propriété \(\mathcal{P}(n+1)\) est aussi vraie.

Conclusion : \[ \boxed{2^{n} \geq n+1, \quad \forall n\in \mathbb{N}}. \]

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Correction des exercices *