CORRECTION DES EXERCICES SUR LE TRIANGLE RECTANGLE - TRIGONOMETRIE***

EXERCICES DE BREVET

Exercice 1 (Amérique du Nord juin 2009)

1) Le triangle CDB est rectangle en D.
\begin{align*}
&\cos{\widehat{DBC}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,adjacent \`a\,}\widehat{DBC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{BD}{BC}\\
&BC=\frac{BD}{\cos{\widehat{DBC}}}=\frac{4}{\cos(60)}=\frac{4}{0.5}=8 \text{ cm}
\end{align*}
BC mesure 8 cm.

2) Le triangle CBD est rectangle en D, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore et écrire l’égalité suivante :
\begin{align*}
&CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}\\
&CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}\\
&CD^{2}=8^{2}-4^{2}\\
&CD^{2}=64-16\\
&CD^{2}=48\\
&CD=\sqrt{48}=\sqrt{16}\times \sqrt{3}=4\sqrt{3} \text{ valeur exacte}\\
&CD \approx 6.9\text{ cm valeur approch\'ee}
\end{align*}
CD mesure 6,9 cm.
(On pouvait également utiliser la tangente de l’angle \widehat{DBC}.)

3) Le triangle ABC est rectangle en B, on peut donc utiliser le théorème de Pythagore et écrire l’égalité suivante :
\begin{align*}
&AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\\
&AC^{2}=6^{2}+8^{2}\\
&AC^{2}=36+64\\
&AC^{2}=100\\
&AC=\sqrt{100}\\
&AC=10\text{ cm}
\end{align*}
AC mesure 10 cm.

4) Le triangle ABC est rectangle en B.
\tan{\widehat{BAC}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{BAC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{BAC}}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}

5) D’après la calculatrice et la touche tan-1\widehat{BAC} mesure 53° (arrondi au degré près).

Exercice 2 (Centres étrangers juin 2009)

1) Figure



2) [AB] est un diamètre du cercle \mathcal{C} et M un point de ce cercle donc le triangle ABM est rectangle en M.

3) Le triangle ABM est rectangle en M ; on peut donc utiliser les formules trigonométriques.
\cos{\widehat{ABM}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,adjacent \`a\,}\widehat{ABM}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{BM}{AB}=\frac{4.2}{10}=0.42
D’après la calculatrice, \widehat{ABM} mesure 65° (arrondi au degré près).
L’angle au centre \widehat{AOM} intercepte le même arc que l’angle inscrit \widehat{ABM} donc la mesure de l’angle \widehat{AOM} est le double de celle de l’angle \widehat{ABM}.
\begin{align*}
\widehat{AOM}&=2\times \widehat{ABM}\\
&=2\times 65\\
&=130^{\circ} \text{ (au degr\'e pr\`es)}
\end{align*}

Exercice 3 (Liban juin 2009)

1) Figure en vraie grandeur


2) Nature du triangle AMD
ABCD est un carré donc AD = AB = 4 cm.
\begin{align*}
&AM^{2}+MD^{2}=2.4^{2}+3.2^{2}=5.76+10.24=16\\
&AD^{2}=4^{2}=16
\end{align*}
On a AM^{2}+MD^{2}=AD^{2} donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AMD est rectangle en M.

3) Calcul de la mesure de l’angle \widehat{DAM}
\cos \widehat{DAM}=\frac{\text{c\^ot\'e \,adjacent \, \`a\,}\widehat{DAM}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AM}{AD}=\frac{2.4}{4}=0.6
D’après la calculatrice et la touche cos-1\widehat{DAM}\approx 53^{\circ} (arrondi au degré près).

4) Le triangle ADI est rectangle en D donc
\tan{\widehat{DAI}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{DAI}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{DAI}}=\frac{DI}{DA}=\frac{DI}{4}
Or I appartient à la droite (AM) donc \widehat{DAM}=\widehat{DAI}=53^{\circ}.
\begin{align*}
&\tan \widehat{DAI}=\frac{DI}{4}\\
&DI=\tan \widehat{DAI}\times 4\\
&DI=\tan(53)\times 4\\
&DI\approx 5.3 \text{ cm}
\end{align*}
DI mesure 5,3 cm (arrondi au mm près).

Exercice 4 (Pondichéry avril 2015)

[AB] est un segment de milieu O tel que AB = 12 cm.
Le point C appartient au cercle de centre O passant par A. De plus AC = 6 cm. L’angle \widehat{ABC} mesure 30°.
1) Figure en vraie grandeur :

2)
a) [AB] est un diamètre du cercle de centre O et C un point de ce cercle donc le triangle ABC est rectangle en C. L'affirmation est vraie.

b) Le triangle ABC est rectangle en C donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\\
&BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}\\
&BC^{2}=12^{2}-6^{2}\\
&BC^{2}=144-36\\
&BC^{2}=108\\
&BC=\sqrt{108}\\
&BC=\sqrt{36}\times\sqrt{3}\\
&BC=6\sqrt{3}\text{ cm valeur exacte}\\
&BC \approx 10.39 \text{ cm valeur approch\'ee}
\end{align*}
 Le segment [BC] ne mesure pas exactement 10 cm, donc l'affirmation est fausse.

c) L'angle au centre \widehat{AOC} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AC} que l'angle inscrit \widehat{ABC} donc nous avons l'égalité suivante :
\widehat{AOC}=2\times \widehat{ABC}=2\times 30=60^{\circ}
L’angle \widehat{AOC} mesure 60°. L'affirmation est donc bien vraie.

d) Aire du triangle ABC :
\begin{align*}
A_{ABC}&=\frac{\text{Base}\times \text{ hauteur}}{2}\\
&=\frac{AC\times BC}{2}\\
&=\frac{6\times 6\sqrt{3}}{2}\\
&=18\sqrt{3}
\end{align*}
L’aire du triangle ABC est de 18\sqrt{3} cm2. L'affirmation est donc vraie.

e) Le triangle BOC est isocèle en O donc \widehat{CBO}=\widehat{OCB}=30^{\circ}
La somme des angles du triangle BOC valant 180°, on en déduit la mesure de l'angle \widehat{BOC}:
\widehat{BOC}=180-30-30=120^{\circ}
\widehat{BOC} mesure 120°. La proposition est donc fausse.


Exercice 5 (Centres étrangers Maroc juin 2015)

Le triangle AOS est rectangle en A et nous souhaitons déterminer la longueur AS. A partir des informations de l'énoncé, nous pouvons utiliser la tangente de l'angle \widehat{SOA} :
\tan{\widehat{SOA}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{SOA}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{SOA}}=\frac{AS}{AO}
Et par conséquent :
\begin{align*}
&\tan(45)=\frac{AS}{15}\\
&\Leftrightarrow AS=15\times \tan(45)= 15\text{ m\`etres}
\end{align*}
AS mesure 15 mètres.

Le triangle AOP est rectangle en A et nous souhaitons déterminer la longueur AP. Nous allons utiliser la tangente de l'angle \widehat{AOP} :
\tan{\widehat{AOP}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{AOP}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{AOP}}=\frac{AP}{AO}
Et par conséquent :
\begin{align*}
&\tan(25)=\frac{AP}{15}\\
&\Leftrightarrow AP=15\times \tan(25)\approx 6.99\text{ m\`etres}
\end{align*}
AP mesure environ 6.99 mètres.
La hauteur de l'arbre est égale à :
h=AS+AP\approx 15+6.99\approx 22\text{ m\`etres valeur arrondie au m\`etre pr\`es}
La hauteur de l'arbre est de 22 mètres environ.

Exercice 6 (Nouvelle-Calédonie décembre 2015)

Le triangle ABC est rectangle en B et on souhaite calculer la longueur AB connaissant BC et l'angle \widehat{CAB}, nous allons donc utiliser la tangente de l'angle \widehat{CAB} :
\tan{\widehat{CAB}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{CAB}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{CAB}}=\frac{BC}{AB}
Et par conséquent :
\begin{align*}
&\tan(3)=\frac{30}{AB}\\
&\Leftrightarrow AB=\frac{30}{\tan(3)}\approx 572\text{ cm}
\end{align*}
AB mesure environ 572 cm.

Exercice 7 (France métropolitaine juin 2014)

1) Calcul du rapport :
\begin{align*}
\frac{QK}{QP}&=\frac{QC-CK}{QP}\\
&=\frac{AP-CK}{QP}\\
&=\frac{0.65-0.58}{5}\\
&=0.014
\end{align*}
Les feux de Pauline sont bien réglés avec une inclinaison égale à 0.014.

2) On remarque que le rapport QK/QP n'est autre que la tangente de l'angle \widehat{QPK} :
\tan{\widehat{QPK}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{QPK}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{QPK}}=\frac{QK}{QP}=0.014
A l'aide de la calculatrice et de la touche tan-1, on trouve :
\widehat{QPK}\approx 0.8^{\circ}
L'angle \widehat{QPK} mesure approximativement 0.8°.

3) On peut soit utiliser le théorème de Thalès, soit les propriétés sur les angles. Nous exposons ici la deuxième méthode.
Les droites (AP) et (CQ) sont perpendiculaires à une même droite (AC) donc les droites (AP) et (CQ) sont parallèles. De plus, la droite (PS) est sécante à ces deux droites dons les angles alternes-internes \widehat{QPK} et \widehat{KSC} sont égaux :
\widehat{QPK}=\widehat{KSC}=\tan^{-1}(0.014)\approx 0.8^{\circ}
Le triangle CKS étant rectangle en S, nous pouvons déterminer la longueur AS :
\tan\widehat{KSC}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{KSC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{KSC}}=\frac{KC}{CS}=\frac{0.58}{CS}
Et par conséquent :
\begin{align*}
&\frac{0.58}{CS}=0.014\\
\Leftrightarrow&\,CS=\frac{0.58}{0.014}\approx 41.43\text{ m\`etres}
\end{align*}
On en déduit AS :
AS=AC+CS\approx 5+41.43 \approx 46.43 \text{ m\`etres}
Compte-tenu de l'arrondi demandé, la distance d'éclairage des feux AS est de 46 mètres.

Exercice 8 (Centres étrangers juin 2014)

Réalisons un petit schéma :

Nous obtenons un triangle ABC rectangle en A dont la base mesure 12 pieds (longueur AB) et l'hypoténuse 20 pieds (longueur BC : c'est la longueur de la lance). Nous pouvons calculer la longueur AC à l'aide du théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\\
&AC^{2}=BC^{2}-AB^{2}\\
&AC^{2}=20^{2}-12^{2}\\
&AC^{2}=400-144\\
&AC^{2}=256\\
&AC=\sqrt{256}=16 \text{ pieds}
\end{align*}
AC mesure 16 pieds. On en déduit la hauteur h :
h=AD-AC=20-16=4
L'extrémité de la lance descend de 4 pieds le long du mur.
Correction des exercices de brevet sur le triangle rectangle - Trigonométrie
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