TRIANGLE RECTANGLE - TRIGONOMETRIE

I) TRIANGLE RECTANGLE : RAPPELS

A) Définitions

Définition
Un triangle rectangle est un triangle possédant un angle droit.
Les deux angles qui ne sont pas droits sont complémentaires : leur somme vaut 90°.
Le côté le plus long du triangle rectangle est appelé l'hypoténuse. Il s'agit du côté situé en face de l'angle droit.

Illustration graphique

Le triangle ABC est rectangle en A. Le côté [BC] est l'hypoténuse du triangle ABC.

Remarque
Concernant l'angle \widehat{ABC} :
- [AB] est le côté adjacent.
- [AC] est le côté opposé.
Concernant l'angle \widehat{ACB} :
- [AC] est le côté adjacent
- [AB] est le côté opposé.

B) Théorème de Pythagore

Théorème
Dans un triangle ABC rectangle en A, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse :
AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}
Ce théorème est connu sous le nom de "Théorème de Pythagore".

Exemple 1 :

Soit le triangle MNK rectangle en N avec MN = 3 cm et NK = 4 cm. Calculer la longueur MK.

Le triangle MNK est rectangle en N donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&MN^{2}+NK^{2}=MK^{2}\\
&MK^{2}=3^{2}+4^{2}\\
&MK^{2}=9+16\\
&MK^{2}=25\\
&MK=\sqrt{25}\\
&MK=5 \text{ cm}
\end{align*}
MK mesure 5 cm.

Exemple 2 :
Le triangle IJK est rectangle en J avec IJ = 6 cm et IK = 10 cm. Calculer la longueur JK.

Le triangle IJK est rectangle en J donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&IJ^{2}+JK^{2}=IK^{2}\\
&JK^{2}=IK^{2}-IJ^{2}\\
&JK^{2}=10^{2}-6^{2}\\
&JK^{2}=100-36\\
&JK^{2}=64\\
&JK=\sqrt{64}\\
&JK=8\text{ cm}
\end{align*}
JK mesure 8 cm.

C) Réciproque du théorème de Pythagore

Propriété
Dans un triangle, si le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Exemple 3 :

Soit un triangle ABC tel que AB = 4.5 cm, BC = 6 cm et AC = 7.5 cm. Le triangle ABC est-il rectangle ?
AC est la longueur la plus importante du triangle ABC. On a :
\begin{align*}
&AC^{2}=7.5^{2}=56.25\\
&AB^{2}+BC^{2}=4.5^{2}+6^{2}=20.25+36=56.25\\
\end{align*}
On remarque que :
AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}
donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Exemple 4 :
Soit un triangle DEF tel que DE = 6 cm, EF = 8 cm et DF = 11 cm. Le triangle DEF est-il rectangle ?
DF est la longueur la plus importante du triangle DEF. On a :
\begin{align*}
&DF^{2}=11^{2}=121\\
&DE^{2}+EF^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100\\
\end{align*}
On remarque que :
DE^{2}+EF^{2}\neq \text{D}F^{2}
donc le triangle DEF n'est pas rectangle.


II) TRIGONOMETRIE

Dans toute cette partie, on considère un triangle ABC rectangle en A :

A) Cosinus

Définition
Le cosinus d'un angle se définit comme le rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
\begin{align*}
\cos \widehat{ABC}&=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ABC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AB}{BC}\\
\cos \widehat{ACB}&=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AC}{BC}
\end{align*}

Exemple 5 : Calculer la valeur d'un angle.
 Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm, et BC = 5 cm. Quel est le cosinus de l'angle\widehat{ABC} ? Combien mesure l'angle \widehat{ABC} ?

\cos \widehat{ABC}=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ABC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}=0.6
Le cosinus de l'angle \widehat{ABC} vaut 0.6.
Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{ABC}, on utilise la touche cos-1 (ou arccos) de la calculatrice :
\cos^{-1}(0.6)\approx 53.13^{\circ}
L'angle \widehat{ABC} mesure approximativement 53.13^{\circ}.


Exemple 6 : Calculer une longueur.
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AC = 10 cm et \widehat{ACB}=60^{\circ}. Combien mesure la longueur BC ?

Nous avons d'une part :
\begin{align*}
\cos \widehat{ACB}&=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{hypot\'enuse}}\\
&=\frac{AC}{BC}\\
&=\frac{10}{BC}
\end{align*}
Et d'autre part :
\cos \widehat{ACB}=\cos(60)=0.5
Par conséquent :
\frac{10}{BC}=0.5
On en déduit que BC = 20 cm.

B) Sinus

Définition
Le sinus d'un angle se définit comme le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse.
\begin{align*}
\sin \widehat{ABC}&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ABC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AC}{BC}\\
\sin \widehat{ACB}&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AB}{BC}
\end{align*}

Exemple 7 : Calculer la valeur d'un angle.
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm, et BC = 5 cm. Quel est le sinus de l'angle\widehat{ABC} ? Combien mesure l'angle \widehat{ABC} ?

\sin \widehat{ABC}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ABC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}=0.8
Le sinus de l'angle \widehat{ABC} vaut 0.8.
Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{ABC}, on utilise la touche sin-1 (ou arcsin) de la calculatrice :
\sin^{-1}(0.8)\approx 53.13^{\circ}
L'angle \widehat{ABC} mesure approximativement 53.13^{\circ}.


Exemple 8 : Calculer une longueur.
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et \widehat{ACB}=30^{\circ}. Combien mesure la longueur BC ?

Nous avons d'une part :
\begin{align*}
\sin \widehat{ACB}&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{hypot\'enuse}}\\
&=\frac{AB}{BC}\\
&=\frac{6}{BC}
\end{align*}
Et d'autre part :
\sin \widehat{ACB}=\sin(30)=0.5
Par conséquent :
\frac{6}{BC}=0.5
On en déduit que BC = 12 cm.

C) Tangente

Définition
La tangente d'un angle se définit comme le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur du côté adjacent à cet angle.
\begin{align*}
\tan \widehat{ABC}&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ABC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ABC}}=\frac{AC}{AB}\\
\tan \widehat{ACB}&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ACB}}=\frac{AB}{AC}
\end{align*}

Exemple 7 : Calculer la valeur d'un angle.
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 3 cm, AC = 4 cm, et BC = 5 cm. Quel est la tangente de l'angle\widehat{ABC} ? Combien mesure l'angle \widehat{ABC} ?
\tan \widehat{ABC}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ABC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ABC}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}
La tangente de l'angle \widehat{ABC} vaut 4/3.
Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{ABC}, on utilise la touche tan-1 (ou arctan) de la calculatrice :
\tan^{-1}(\frac{4}{3})\approx 53.13^{\circ}
L'angle \widehat{ABC} mesure approximativement 53.13^{\circ}.


Exemple 8 : Calculer une longueur.
Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et \widehat{ACB}=45^{\circ}. Combien mesure la longueur AC ?

 Nous avons d'une part :
\begin{align*}
\tan \widehat{ACB}&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{c\^ot\'e adjacent \`a l'angle }\widehat{ACB}}\\
&=\frac{AB}{AC}\\
&=\frac{6}{AC}
\end{align*}
Et d'autre part :
\tan \widehat{ACB}=\tan(45)=1
Par conséquent :
\frac{6}{AC}=1
On en déduit que AC = 6 cm.

C) Remarques diverses

Propriété
Le cosinus, le sinus et la tangente sont reliés par les relations suivantes :
\begin{align*}
&\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\\
&(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1
\end{align*}

Difficile de retenir toutes ces formules ? Il existe un moyen mémo-technique simple :
SOHCAHTOA
pour :
Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent
Remarquez qu'on ne trouve jamais l'hypoténuse au numérateur !
Cours sur le triangle rectangle - trigonométrie
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