RACINES CARREES
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Exercice 1
\[ \begin{align*} A&=7\sqrt{63}-3\sqrt{28}+\sqrt{7}\\ &=7\sqrt{9\times 7}-3\sqrt{4\times 7}+\sqrt{7}\\ &=7\times \sqrt{9} \times \sqrt{7}-3\times \sqrt{4}\times \sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=7\times 3 \times \sqrt{7}-3\times 2 \times \sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=21\sqrt{7}-6\sqrt{7}+\sqrt{7}\\ &=(21-6+1)\sqrt{7}\\ &=16\sqrt{7} \end{align*} \]\[ \begin{align*} B&=3\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{5}\\ &=3\sqrt{4\times 5}-\sqrt{9\times 5}+\sqrt{5}\\ &=3\times \sqrt{4} \times \sqrt{5}-\sqrt{9}\times \sqrt{5}+\sqrt{5}\\ &=3\times 2 \times \sqrt{5}-3\times \sqrt{5}+\sqrt{5}\\ &=6\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}\\ &=(6-3+1)\sqrt{5}\\ &=4\sqrt{5} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} C&=3\sqrt{54}+7\sqrt{6}-\sqrt{2}\times \sqrt{12}\\ &=3\sqrt{9\times 6}+7\sqrt{6}-\sqrt{2}\times \sqrt{2\times 6}\\ &=3\times \sqrt{9} \times \sqrt{6}+7\sqrt{6}-\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{6}\\ &=3\times 3 \times \sqrt{6}+7\sqrt{6}-(\sqrt{2})^{2}\times\sqrt{6}\\ &=9\sqrt{6}+7\sqrt{6}-2\sqrt{6}\\ &=(9+7-2)\sqrt{6}\\ &=14\sqrt{6} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=\sqrt{63}-3\sqrt{28}-\sqrt{700}\\ &=\sqrt{9\times 7}-3\sqrt{4\times 7}-\sqrt{100\times 7}\\ &=\sqrt{9}\times \sqrt{7}-3\times \sqrt{4}\times \sqrt{7}-\sqrt{100}\times \sqrt{7}\\ &=3\sqrt{7}-3\times 2 \times \sqrt{7}-10\sqrt{7}\\ &=3\sqrt{7}-6\sqrt{7}-10\sqrt{7}\\ &=(3-6-10)\sqrt{7}\\ &=-13\sqrt{7} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} E&=5\sqrt{27}+\sqrt{75}\\ &=5\sqrt{9\times 3}+\sqrt{25\times 3}\\ &=5\sqrt{9}\times \sqrt{3}+\sqrt{25}\times \sqrt{3}\\ &=5\times 3 \times \sqrt{3}+5\times \sqrt{3}\\ &=15\sqrt{3}+5\sqrt{3}\\ &=(15+5)\sqrt{3}\\ &=20\sqrt{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} F&=\sqrt{50}+2\sqrt{18}\\ &=\sqrt{25\times 2}+2\sqrt{9\times 2}\\ &=\sqrt{25}\times \sqrt{2}+2\times \sqrt{9}\times \sqrt{2}\\ &=5\times \sqrt{2}+2\times 3\times \sqrt{2}\\ &=5\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\ &=(5+6)\sqrt{2}\\ &=11\sqrt{2} \end{align*} \]
Exercice 2
\[ \begin{align*} A&=\sqrt{50}-3\sqrt{8}+2\sqrt{18}\\ &=\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{4\times 2}+2\sqrt{9\times 2}\\ &=\sqrt{25}\times \sqrt{2}-3\times \sqrt{4}\times \sqrt{2}+2\times \sqrt{9}\times \sqrt{2}\\ &=5\sqrt{2}-3\times 2\times\sqrt{2}+2\times 3 \times \sqrt{2}\\ &=5\sqrt{2}-6\sqrt{2}+6\sqrt{2}\\ &=(5-6+6)\sqrt{2}\\ &=5\sqrt{2} \end{align*} \]\[ \begin{align*} B&=\sqrt{75}+4\sqrt{12}\\ &=\sqrt{25\times 3}+4\sqrt{4\times 3}\\ &=\sqrt{25}\times \sqrt{3}+4\times \sqrt{4}\times \sqrt{3}\\ &=5\times \sqrt{3}+4\times 2\times \sqrt{3}\\ &=5\sqrt{3}+8\sqrt{3}\\ &=(5+8)\sqrt{3}\\ &=13\sqrt{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} C&=\sqrt{25}+\sqrt{20}+\sqrt{80}\\ &=5+\sqrt{4\times 5}+\sqrt{16\times 5}\\ &=5+\sqrt{4}\times \sqrt{5}+\sqrt{16}\times \sqrt{5}\\ &=5+2\sqrt{5}+4\sqrt{5}\\ &=5+(2+4)\sqrt{5}\\ &=5+6\sqrt{5} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=\sqrt{150}-2\sqrt{600}\\ &=\sqrt{25\times 6}-2\sqrt{100\times 6}\\ &=\sqrt{25}\times \sqrt{6}-2\times \sqrt{100}\times \sqrt{6}\\ &=5\times \sqrt{6}-2\times 10\times \sqrt{6}\\ &=5\sqrt{6}-20\sqrt{6}\\ &=(5-20)\sqrt{6}\\ &=-15\sqrt{6} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} E&=4\sqrt{45}-2\sqrt{5}-\sqrt{500}\\ &=4\sqrt{9\times 5}-2\sqrt{5}-\sqrt{100\times 5}\\ &=4\times \sqrt{9}\times \sqrt{5}-2\sqrt{5}-\sqrt{100}\times \sqrt{5}\\ &=4\times 3 \times \sqrt{5}-2\sqrt{5}-10\sqrt{5}\\ &=12\sqrt{5}-2\sqrt{5}-10\sqrt{5}\\ &=(12-2-10)\sqrt{5}\\ &=0 \end{align*} \]
\[ \begin{align*} F&=\sqrt{28}+\sqrt{\frac{63}{4}}+2\sqrt{112}\\ &=\sqrt{4\times 7}+\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{4}}+2\sqrt{16\times 7}\\ &=\sqrt{4}\times \sqrt{7}+\frac{\sqrt{9\times 7}}{2}+2\times \sqrt{16}\times \sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7}+\frac{\sqrt{9}\times \sqrt{7}}{2}+2\times 4 \times\sqrt{7}\\ &=2\sqrt{7}+\frac{3\sqrt{7}}{2}+8\sqrt{7}\\ &=(2+\frac{3}{2}+8)\sqrt{7}\\ &=\frac{23}{2}\sqrt{7} \end{align*} \]
Exercice 3
\[
\begin{align*}
A&=(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})\\
&=2^{2}-(\sqrt{3})^{2}\\
&=4-3\\
&=1
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} B&=(5-\sqrt{7})^{2}\\ &=5^{2}-2\times 5 \times \sqrt{7}+(\sqrt{7})^{2}\\ &=25-10\sqrt{7}+7\\ &=32-10\sqrt{7} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} B&=(5-\sqrt{7})^{2}\\ &=5^{2}-2\times 5 \times \sqrt{7}+(\sqrt{7})^{2}\\ &=25-10\sqrt{7}+7\\ &=32-10\sqrt{7} \end{align*} \]
\[
\begin{align*}
C&=(\sqrt{10}+\sqrt{10})^{2}\\
&=(2\sqrt{10})^{2}\\
&=2^{2}(\sqrt{10})^{2}\\
&=4\times 10\\
&=40
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=(\sqrt{5}+4)^{2}\\
&=(\sqrt{5})^{2}+2\times \sqrt{5}\times 4+4^{2}\\
&=5+8\sqrt{5}+16\\
&=21+8\sqrt{5}
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} E&=(6-\sqrt{2})(3+\sqrt{50})\\ &=18+6\sqrt{50}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}\times \sqrt{50}\\ &=18+6\sqrt{25\times 2}-3\sqrt{2}-\sqrt{2\times 50}\\ &=18+6\times\sqrt{25}\times\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\sqrt{100}\\ &=18+6\times 5\times \sqrt{2}-3\sqrt{2}-10\\ &=8+30\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\ &=8+27\sqrt{2} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} F&=(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{7}+\sqrt{5})\\ &=(\sqrt{5}-\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{7})\\ &=(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{7})^{2}\\ &=5-7\\ &=-2 \end{align*} \] \[ \begin{align*} G&=(4\sqrt{3}+3\sqrt{4})^{2}\\ &=(4\sqrt{3}+3\times 2)^{2}\\ &=(4\sqrt{3}+6)^{2}\\ &=(4\sqrt{3})^{2}+2\times 4\times \sqrt{3}\times 6+6^{2}\\ &=4^{2}\times (\sqrt{3})^{2}+48\sqrt{3}+36\\ &=16\times 3+48\sqrt{3}+36\\ &=84+48\sqrt{3} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} H&=(3\sqrt{5}-2)^{2}\\ &=(3\sqrt{5})^{2}-2\times 3\sqrt{5}\times 2+2^{2}\\ &=3^{2}\times (\sqrt{5})^{2}-12\sqrt{5}+4\\ &=9\times 5-12\times \sqrt{5}+4\\ &=49-12\sqrt{5} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} I&=(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}\\ &=(\sqrt{5})^{2}+2\times \sqrt{5}\times \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\\ &=5+2\sqrt{5\times 3}+3\\ &= 8+2\sqrt{15} \end{align*} \]
\[ \begin{align*} J&=(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})\\ &=(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})\sqrt{3}+\sqrt{3}(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}\times \sqrt{3}\\ &=1^{2}-(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\times \sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}\times \sqrt{2}+3\\ &=1-2+\sqrt{3}(1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2})+3\\ &=-1+2\sqrt{3}+3\\ &=2+2\sqrt{3} \end{align*} \]
Exercice 4
\[
\begin{align*}
A&=9x^{2}-5\\
&=3^{2}\times x^{2}-(\sqrt{5})^{2}\\
&=(3x)^{2}-(\sqrt{5})^{2}\\
&= (3x+\sqrt{5})(3x-\sqrt{5})
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} B&=17-25x^{2}\\ &=(\sqrt{17})^{2}-5^{2}\times x^{2}\\ &=(\sqrt{17})^{2}-(5x)^{2}\\ &= (\sqrt{17}+5x)(\sqrt{17}-5x) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} B&=17-25x^{2}\\ &=(\sqrt{17})^{2}-5^{2}\times x^{2}\\ &=(\sqrt{17})^{2}-(5x)^{2}\\ &= (\sqrt{17}+5x)(\sqrt{17}-5x) \end{align*} \]
\[
\begin{align*}
C&=x^{2}-7\\
&=x^{2}-(\sqrt{7})^{2}\\
&= (x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})
\end{align*}
\]
\[ \begin{align*} D&=100x^{2}-13\\ &=10^{2}\times x^{2}-(\sqrt{13})^{2}\\ &=(10x)^{2}-(\sqrt{13})^{2}\\ &= (10x-\sqrt{13})(10x+\sqrt{13}) \end{align*} \]
\[ \begin{align*} D&=100x^{2}-13\\ &=10^{2}\times x^{2}-(\sqrt{13})^{2}\\ &=(10x)^{2}-(\sqrt{13})^{2}\\ &= (10x-\sqrt{13})(10x+\sqrt{13}) \end{align*} \]
Exercice 5
Lorsque \( x=\sqrt{5}\) : \[\\ \begin{align*} A&=5x^{2}+3x-7\\ &=5\times (\sqrt{5})^{2}+3\sqrt{5}-7\\ &=5\times 5 +3\sqrt{5}-7\\ &=18-3\sqrt{5}\\ B&=-6x^{2}-11x+9\\ &=-6\times (\sqrt{5})^{2}-11\sqrt{5}+9\\ &=-6\times 5 -11\sqrt{5}+9\\ &=-21-11\sqrt{5} \end{align*} \]
Lorsque \( x=-\sqrt{7}\) : \[
\\ \begin{align*} A&=5x^{2}+3x-7\\ &=5\times (-\sqrt{7})^{2}+3\times (-\sqrt{7})^{2}-7\\ &=5\times 7 -3\sqrt{7}-7\\ &=28-3\sqrt{7}\\ B&=-6x^{2}-11x+9\\ &=-6\times (-\sqrt{7})^{2}-11\times (-\sqrt{7})+9\\ &=-6\times 7 +11\sqrt{7}+9\\ &=-33+11\sqrt{7} \end{align*} \]
Exercice 6
\( x^{2}=4\)Cette équation admet deux solutions : \( x=\sqrt{4}=2 \) et \( x=-\sqrt{4}=-2\).
\( x^{2}=-7\)
Cette équation n’admet aucune solution. Un carré est toujours positif.
\( x^{2}=17\)
Cette équation admet deux solutions : \( x=\sqrt{17} \) et \( x=-\sqrt{17}\).
\( x^{2}=-64\)
Cette équation n’admet aucune solution. Un carré est toujours positif.
\( x^{2}=0\)
Cette équation admet une unique solution : 0.
\( x^{2}=49\)
Cette équation admet deux solutions : \( x=\sqrt{49}=7 \) et \( x=-\sqrt{49}=-7\).
\( x^{2}=-57\)
Cette équation n’admet aucune solution. Un carré est toujours positif.
\( x^{2}=11\)
Cette équation admet deux solutions : \( x=\sqrt{11} \) et \( x=-\sqrt{11}\).
Exercice 7
On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur AH :
\[ \begin{align*} & AH^{2}+HB^{2}=AB^{2}\\ & AH^{2}=AB^{2}-HB^{2}\\ & AH^{2}=a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\\ & AH^{2}=a^{2}-\frac{a^{2}}{4}\\ & AH^{2}=\frac{3a^{2}}{4}\\ & AH=\sqrt{\frac{3}{4}a^{2}}\\ & AH=\sqrt{\frac{3}{4}}\times \sqrt{a^{2}}\\ & AH=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\times a \\ & AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a \\ & AH=\frac{a\sqrt{3}}{2} \end{align*} \]
Comme toutes les hauteurs du triangle équilatéral ABC ont même longueur, on en déduit que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a mesure \(\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}\).