GENERALITES SUR LES FONCTIONS
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I) Introduction
Un employé cherche à connaître son salaire suivant le nombre d'heures travaillées. Sa rémunération est de \(20\)€ de l'heure.Nous pouvons remplir le tableau ci-dessous :
| Nombre d'heures | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(x\) |
| Salaire (en €) | \(20\times 1\) \(= 20\) | \(20\times 5\) \( = 100\) | \(20\times 10\) \( = 200\) | \(20 \times x\) \( = 20x \) |
Lorsqu'on appelle \(x\) le nombre d'heures travaillées, on associe à chaque \(x\) le salaire correspondant égal à \(20x\).
On a en fait défini une fonction qui associe au nombre d'heures \(x\) le salaire égal à 20\(x\).
II) Définitions
Définition
Une fonction
\(f\) permet d'associer à un
nombre \(x\) un unique nombre noté \(f(x)\). On note :
\[ f:x\rightarrow f(x) \] et on lit : "\(f\) est la fonction qui à \(x\) associe \(f\) de \(x\)".
\[ f:x\rightarrow f(x) \] et on lit : "\(f\) est la fonction qui à \(x\) associe \(f\) de \(x\)".
Exemple 1 :
\[ f:x \rightarrow x^{2} \] Dans cet exemple, la fonction \(f\) associe au nombre \(x\) le nombre \(x^{2}\).
Définition
On dit que \(y=f(x)\)
est l'image
de \(x\) par la fonction \(f\).
On dit également que \(x\) est l'antécédent du nombre \(y=f(x)\).
On dit également que \(x\) est l'antécédent du nombre \(y=f(x)\).
Exemple 2 :
\[ f(16)=32 \] On dit que 32 est l'image de 16 par la fonction \(f\). On peut également dire que 16 est l'antécédent de 32 par la fonction \(f\).
III) Calcul des images et antécédents
A) Calcul de l'image
Pour calculer l'image d'un nombre \(x\) par une fonction \(f\), il suffit de remplacer \(x\) par la valeur souhaitée.Exemple 3 :
Soit la fonction suivante :
\[ f(x)=-2x+2 \] Quelle est l'image de 1 ?
Pour trouver l'image de 1, on remplace \(x\) par 1 :
\[ f(1)=-2\times 1+2=0 \] L'image de 1 par la fonction \(f\) est 0.
B) Calcul de l'antécédent
Pour calculer le ou les antécédents d'un nombre \(y\), il suffit de résoudre l'équation \(f(x)=y\).Exemple 4 :
Soit la fonction suivante :
\[ f(x)=-2x+2 \] Quel est l'antécédent de 6 ?
Pour touver l'antécédent de 6 il faut résoudre l'équation suivante :
\[ 6=-2x+2 \] On trouve \(x=-2\).
Remarque
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents
mais un nombre ne peut avoir qu'une seule image.
IV) Représentation graphique
Définition
Dans un repère donné, la représentation
graphique de la fonction \(f\)
est l'ensemble des points de coordonnées \((x;f(x))\).
Exemple 5 :
Traçons la courbe représentative de la fonction suivante :
\[ f(x)=2-x \] On remplit tout d'abord un tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
\(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(f(x)\) | \(2-\) \((-3)\) \(= \color{green}5\) | \(2-\) \((-2)\) \(=\color{green} 4\) | \(2-\) \((-1)\) \(=\color{green} 3\) | \(2-\) \(0\) \(=\color{green} 2\) | \(2\)\(-1\) \(= \color{green} 1\) | \(2\)\(-2\) \(=\color{green} 0\) | \(2\) \(-3\) \(=\color{green} -1\) |
Les nombres en vert sont les images des nombres en rouge. Pour tracer la courbe représentative de la fonction \(f\), nous allons utiliser les points de coordonnées \((x;f(x))\), c'est-à-dire les points \((-3;5)\), \((-2;4)\), \((-1;3)\), ainsi de suite jusqu'à \((3;-1)\). Graphiquement, les images figurent sur l'axe des ordonnées et les antécédents sur l'axe des abscisses.
Nous remarquons que la représentation graphique de cette fonction est une droite :
A partir de ce graphique, nous pouvons lire les images d'autres points : par exemple, l'image de -4 est 6 (en pointillés rouges).