ANGLES, POLYGONES REGULIERS
Correction des exercices *

Exercice 1

1) L'angle inscrit \(\widehat{ACB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) donc nous avons \(\widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}\). On en déduit :
\[ \begin{align*} \widehat{ACB}&=\frac{1}{2}\times \widehat{AOB}\\ &=\frac{1}{2}\times 45\\ &=22.5^{\circ} \end{align*} \] \(\widehat{ACB}\) mesure 22.5°.

2) L'angle inscrit \(\widehat{ACB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle inscrit \(\widehat{ADB}\). Par conséquent, ils ont même mesure :
\[\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=45^{\circ} \] \(\widehat{ACB}\) mesure 45°.

3) L'angle inscrit \(\widehat{ACB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) donc nous avons \(\widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}\). On en déduit :
\[ \begin{align*} \widehat{ACB}&=\frac{1}{2}\times \widehat{AOB}\\ &=\frac{1}{2}\times 120\\ &=60^{\circ} \end{align*} \] \(\widehat{ACB}\) mesure 60°.

Exercice 2

1) L'angle inscrit \(\widehat{ACB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) donc nous avons :
\[ \begin{align*} \widehat{AOB}&=2\times \widehat{ACB}\\ &=2\times 30\\ &=60^{\circ} \end{align*} \] \(\widehat{A0B}\) mesure 60°.

2) L'angle inscrit \(\widehat{ACB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) donc nous avons \(\widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}\). On en déduit :
\[ \begin{align*} \widehat{ACB}&=\frac{1}{2}\times \widehat{AOB}\\ &=\frac{1}{2}\times 150\\ &=75^{\circ} \end{align*} \] \(\widehat{ACB}\) mesure 75°.

3) L'angle inscrit \(\widehat{ADB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle inscrit \(\widehat{ACB}\). Par conséquent, ils ont même mesure :
\[\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=36^{\circ} \] \(\widehat{ADB}\) mesure 36°.

Exercice 3

1) ABCDE est un pentagone régulier. La mesure de l'angle \(\widehat{AOB}\) vaut par conséquent :
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{5}=72^{\circ} \] \(\widehat{AOB}\) mesure 72°.

2) ABCDFGHE est un octogone régulier. La mesure de l'angle \(\widehat{AOB}\) vaut par conséquent :
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{8}=45^{\circ} \] \(\widehat{AOB}\) mesure 45°.

3) ABCDFE est un hexagone régulier. La mesure de l'angle \(\widehat{AOB}\) vaut par conséquent :
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{6}=60^{\circ} \] \(\widehat{AOB}\) mesure 60°.

Exercice 4

Les points A et B appartiennent au cercle de centre O donc nous avons OA = OB et le triangle OAB est isocèle en O.
D'autre part, l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) intercepte le même arc de cercle \(\overset{\frown}{AB}\) que l'angle inscrit \(\widehat{ACB}\) donc nous avons :
\[ \begin{align*} \widehat{AOB}&=2\times \widehat{ACB}\\ &=2\times 30\\ &=60^{\circ} \end{align*} \] \(\widehat{AOB}\) mesure 60°.
Le triangle AOB est isocèle et possède en plus un angle de 60° ; par conséquent il est équilatéral.

Exercice 5

On trace tout d'abord un segment OA tel que OA= 5 cm, puis avec le compas le cercle de centre O et de rayon OA.
Etant donné qu'on demande de tracer un hexagone régulier (6 côtés de même longueur), la mesure de l'angle au centre vaut :
\[\widehat{AOB}=\frac{360}{6}=60^{\circ} \] Et comme de plus, on a OA = OB = OC = OD = OE = OF et que les triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEF et OFA ont un angle qui vaut 60°, tous ces triangles sont équilatéraux. Ce qui signifie en d'autres termes que nous avons :
OA = AB = BC = CD = DE = EF = FA.
Il suffit avec le compas de prendre la longueur OA, mettre la pointe sèche en A puis reporter OA sur le cercle : on obtient le point B. Puis pointe sèche en B et on reporte à nouveau la longueur OA : on obtient le point C. Ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne le point F et la figure suivante :