CORRECTION DES EXERCICES SUR LE TRIANGLE RECTANGLE - TRIGONOMETRIE**

EXERCICES D'APPLICATION

Exercice 1

1) Le triangle ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\\
&AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}\\
&AB^{2}=3.50^{2}-3.05^{2}\\
&AB^{2}=12.25-9.3025\\
&CD^{2}=2.9475\\
&CD=\sqrt{2.9475}\text{ m\`etres valeur\,exacte}\\
&CD \approx 1.72\text{ m\`etres valeur approch\'ee}
\end{align*}
Il doit installer son échelle à environ 1.72 m du pied du mur.

2) Il s'agit de calculer la mesure de l'angle \widehat{ABC}. Le triangle ABC étant rectangle en A, on a :
\sin{\widehat{ABC}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{ABC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AC}{BC}=\frac{3.05}{3.5}\approx 0.871
En utilisant la calculatrice et la touche sin-1, on obtient \widehat{ABC}\approx 60.58^{\circ}.

Exercice 2

1) Le triangle ABC est rectangle en B et on souhaite connaître la longueur AB. On peut utiliser la tangente de l'angle \widehat{BAC}. Nous avons d'une part :
\tan{\widehat{BAC}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{BAC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{BAC}}=\frac{BC}{AB}=\frac{324}{AB}
Et d'autre part :
\tan{\widehat{BAC}}=\tan(30)
On peut en déduire l'égalité suivante :
\begin{align*}
&\tan(30)=\frac{324}{AB}\\
\Rightarrow &AB=\frac{324}{\tan(30)}\\
&AB\approx 561.18\text{ m\`etres valeur approch\'ee}
\end{align*}
Il devra se situer à environ 561.18 mètres de la Tour Eiffel pour pouvoir l'admirer sans mal.

2) On calcule la tangente de l'angle \widehat{BAC} sachant que BA = 700 mètres :
\tan{\widehat{BAC}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{BAC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{BAC}}=\frac{BC}{AB}=\frac{324}{700}\approx 0.463
En utilisant la calculatrice et la touche tan-1, on obtient \widehat{BAC}\approx 24.84^{\circ}.

Exercice 3

Rappel de la figure :

La meilleure façon de résoudre ce problème est d'exprimer la longueur AB à l'aide des formules trigonométriques dans les triangles ABC et ABD.
Le triangle ABC est en effet rectangle en A donc :
\tan{\widehat{ACB}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{ACB}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{ACB}}=\frac{AB}{AC}=\tan(50)
Nous pouvons donc écrire AB de la façon suivante :
AB=\tan(50)\times AC\text{ (1)}
Le triangle ABD est aussi rectangle en A :
\begin{align*}
\tan{\widehat{ADB}}&=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{ADB}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{ADB}}=\frac{AB}{AD}=\frac{AB}{AC+CD}=\frac{AB}{AC+30}\\
&=\tan(30)
\end{align*}
Nous pouvons donc réécrire AB de la façon suivante :
\tan(30)\times (AC+30)=AB\text{ (2)}
A partir des relations (1) et (2), nous pouvons écrire :
\tan(50)\times AC=\tan(30)\times (AC+30)
Nous pouvons à présent trouver la longueur AC :
\begin{align*}
&\tan(50)\times AC=\tan(30)\times (AC+30)\\
\Leftrightarrow&\tan(50)\times AC=\tan(30)\times AC+30\tan(30)\\
\Leftrightarrow&\tan(50)\times AC-\tan(30)\times AC=30\tan(30)\\
\Leftrightarrow&(\tan(50)-\tan(30))\times AC=30\tan(30)\\
\Leftrightarrow&AC=\frac{30\tan(30)}{\tan(50)-\tan(30)}\\
\Leftrightarrow&AC\approx 28.19\text{ m\`etres}
\end{align*}
AC mesure environ 28.19 mètres. Pour déterminer AB, on remplace AC dans la relation (1) par exemple :
\begin{align*}
AB&=\tan(50)\times AC\\
&\approx \tan(50)\times 28.19\\
&\approx 33.6 \text{ m\`etres}
\end{align*}
La hauteur du chateau est de 33.6 mètres.
Correction des exercices d'application sur le triangle rectangle - Trigonométrie
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