CORRECTION DES EXERCICES SUR LE TRIANGLE RECTANGLE - TRIGONOMETRIE*

EXERCICES D'ENTRAINEMENT

Exercice 1

1) Le triangle ABC est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\\
&BC^{2}=4^{2}+4^{2}\\
&BC^{2}=16+16\\
&BC^{2}=32\\
&BC=\sqrt{32} \text{ cm valeur exacte}\\
&BC \approx 5.66 \text{ cm valeur approch\'ee}
\end{align*}
BC mesure approximativement 5.66 cm.

2) Le triangle DEF est rectangle en D donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}\\
&EF^{2}=7^{2}+2^{2}\\
&EF^{2}=49+4\\
&EF^{2}=53\\
&EF=\sqrt{53} \text{ cm valeur exacte}\\
&EF \approx 7.28 \text{ cm valeur approch\'ee}
\end{align*}
EF mesure approximativement 7.28 cm.

3) Le triangle GHI est rectangle en G donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&GH^{2}+GI^{2}=HI^{2}\\
&GI^{2}=HI^{2}-GH^{2}\\
&GI^{2}=5^{2}-4^{2}\\
&GI^{2}=25-16\\
&GI^{2}=9\\
&GI=\sqrt{9}\\
&GI=3\text{ cm}
\end{align*}
GI mesure 3 cm.

Exercice 2

\begin{align*}
&\cos{\widehat{LJK}}=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a }\widehat{LJK}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{JK}{JL}=\frac{8}{10}=0.8\\
&\cos{\widehat{KLJ}}=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a }\widehat{KLJ}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{KL}{JL}=\frac{6}{10}=0.6\\
&\sin{\widehat{LJK}}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a }\widehat{LJK}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{KL}{JL}=\frac{6}{10}=0.6\\
&\sin{\widehat{KLJ}}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a }\widehat{KLJ}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{JK}{JL}=\frac{8}{10}=0.8\\
&\tan{\widehat{LJK}}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \,\`a \,}\widehat{LJK}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{LJK}}=\frac{KL}{JK}=\frac{6}{8}=0.75\\
&\tan{\widehat{KLJ}}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \,\`a \,}\widehat{KLJ}}{\text{c\^ot\'e adjacent \,\`a \,}\widehat{KLJ}}=\frac{JK}{KL}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \approx 1.33
\end{align*}

Exercice 3

1) La plus grande longueur du triangle ABC est BC.
\begin{align*}
&BC^{2}=(2\sqrt{5})^{2}=2^{2}\times (\sqrt{5})^{2}=4\times 5=20\\
&AB^{2}+AC^{2}=2^{2}+4^{2}=4+16=20
\end{align*}
Comme AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}, le triangle ABC est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

2) La plus grande longueur du triangle DEF est DF.
\begin{align*}
&DF^{2}=11^{2}=121\\
&DE^{2}+EF^{2}=8^{2}+8^{2}=64+64=128
\end{align*}
Comme DE^{2}+EF^{2}\neq DF^{2}, le triangle DEF n'est pas rectangle.

3) La plus grande longueur du triangle GHI est HI.
\begin{align*}
&HI^{2}=(\sqrt{10})^{2}=10\\
&GH^{2}+GI^{2}=1^{2}+3^{2}=1+9=10
\end{align*}
Comme GH^{2}+GI^{2}=HI^{2}, le triangle GHI est rectangle en G d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

Exercice 4

1) Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{ABC}, on utilise la touche cos-1 (ou acos) de la calculatrice :
\cos^{-1}(0.63)\approx 51^{\circ}
L'angle \widehat{ABC} mesure approximativement 51^{\circ}.

2) Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{DEF}, on utilise la touche sin-1 (ou asin) de la calculatrice :
\sin^{-1}(0.05)\approx 3^{\circ}
L'angle \widehat{DEF} mesure approximativement 3^{\circ}.

2) Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{IJK}, on utilise la touche tan-1 (ou atan) de la calculatrice :
\tan^{-1}(0.5)\approx 27^{\circ}
L'angle \widehat{IJK} mesure approximativement 27^{\circ}.

4) Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{LMN}, on utilise la touche sin-1 (ou asin) de la calculatrice :
\sin^{-1}(0.25)\approx 14^{\circ}
L'angle \widehat{LMN} mesure approximativement 14^{\circ}.

5) Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{OPQ}, on utilise la touche cos-1 (ou acos) de la calculatrice :
\cos^{-1}(0.88)\approx 28^{\circ}
L'angle \widehat{OPQ} mesure approximativement 28^{\circ}.

6) Pour obtenir la mesure de l'angle \widehat{RST}, on utilise la touche tan-1 (ou atan) de la calculatrice :
\tan^{-1}(0.58)\approx 30^{\circ}
L'angle \widehat{RST} mesure approximativement 30^{\circ}.

Exercice 5

\begin{align*}
&1) \frac{AD}{AB}=\tan \widehat{ABD}\\
&2) \sin{\widehat{CEA}}=\frac{AC}{CE}\\
&3) \cos{\widehat{CEA}}=\frac{AE}{CE}\\
&4) \frac{AE}{EC}=\cos{\widehat{CEA}}=\sin{\widehat{ACE}}\\
&5) \frac{AD}{BD}=\cos{\widehat{ADB}}=\sin{\widehat{ABD}}\\
&6) \tan{\widehat{ABC}}=\frac{AC}{AB}\\
&7) \frac{AD}{DE}=\cos{\widehat{ADE}}=\sin{\widehat{AED}}\\
&8) \frac{AC}{AE}=\tan{\widehat{CEA}}\\
\end{align*}

Exercice 6

1) Calcul de la mesure de l'angle \widehat{ABC} sachant que le triangle ABC est rectangle en A :
\tan{\widehat{ABC}}=\frac{\text{c\^ot\'e\,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{ABC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \, \`a\,}\widehat{ABC}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}=0.8
D'après la calculatrice :
\tan^{-1}(0.8)\approx 38.7^{\circ}
L'angle \widehat{ABC} mesure approximativement 38.7°.

2) Calcul de la mesure de l'angle \widehat{BED} sachant que le triangle BED est rectangle en D :
\sin{\widehat{BED}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{BED}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{BD}{BE}=\frac{7}{\sqrt{53}}=0.962
D'après la calculatrice :
\sin^{-1}(0.962)\approx 74.2^{\circ}
L'angle \widehat{BED} mesure approximativement 74.2°.

3) Calcul de la mesure de l'angle \widehat{FGC} sachant que le triangle FGC est rectangle en F :
\cos{\widehat{FGC}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,adjacent \,\`a \,}\widehat{FGC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{FG}{CG}=\frac{8}{8\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
D'après la calculatrice :
\cos^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})=45^{\circ}
L'angle \widehat{FGC} mesure exactement 45°.

Exercice 7

1) Le triangle ABC est rectangle en A. Nous avons d'une part :
\cos{\widehat{ABC}}=\cos(23)\approx 0.92
Et d'autre part :
\cos{\widehat{ABC}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,adjacent \,\`a \,}\widehat{ABC}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{BC}
On déduit de ces deux expressions l'égalité suivante :
\frac{6}{BC}=\cos(23)
Et par conséquent la longueur BC :
BC=\frac{6}{\cos(23)}\approx 6.52
BC mesure approximativement 6.52 cm.

2) Le triangle BED est rectangle en B. Nous avons d'une part :
\tan{\widehat{BDE}}=\tan(55)\approx 1.428
Et d'autre part :
\tan{\widehat{BDE}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{BDE}}{\text{c\^ot\'e adjacent \,\`a \,}\widehat{BDE}}=\frac{BE}{BD}=\frac{BE}{4}
On déduit de ces deux expressions l'égalité suivante :
\frac{BE}{4}=\tan(55)
Et par conséquent la longueur BE :
BE=4\tan(55)\approx 5.71
BE mesure approximativement 5.71 cm.

3) Le triangle BAF est rectangle en A. Nous avons d'une part :
\sin{\widehat{AFB}}=\sin(50)\approx 0.766
Et d'autre part :
\sin{\widehat{AFB}}=\frac{\text{c\^ot\'e \,oppos\'e \,\`a \,}\widehat{AFB}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AB}{BF}=\frac{6}{BF}
On déduit de ces deux expressions l'égalité suivante :
\frac{6}{BF}=\sin(50)
Et par conséquent la longueur BF :
BF=\frac{6}{\sin(50)}\approx 7.83
BF mesure approximativement 7.83 cm.
Correction des exercices d'entrainement sur le triangle rectangle - Trigonométrie
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