CORRECTION DES EXERCICES THEOREME DE THALES **

EXERCICES D'APPLICATION

Exercice 1


1) Les droites (BD) et (AC) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\frac{ED}{EC}=\frac{EB}{EA}=\frac{BD}{AC}\\
En remplaçant par les valeurs numériques :
\frac{6}{6}=\frac{5}{EA}=\frac{BD}{AC}\\
Nous souhaitons connaitre la longueur EA :
\begin{align*}
&\frac{6}{6}=\frac{5}{EA}\\
&EA=5 \text{ cm}
\end{align*}
EA mesure 5 centimètres.

2) Les droites (FG) et (CD) sont sécantes en E. De plus, les droites (BD) et (AC) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\frac{ED}{EC}=\frac{EG}{EF}=\frac{DG}{FC}\\
En remplaçant par les valeurs numériques :
\frac{6}{6}=\frac{EG}{5}=\frac{DG}{FC}\\
Nous souhaitons connaitre la longueur EG :
\begin{align*}
&\frac{6}{6}=\frac{EG}{5}\\
&EG=5 \text{ cm}
\end{align*}
EG mesure 5 centimètres.

3) Les points A, E, B d'une part et D, E, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, nous avons :
\begin{align*}
&\frac{EB}{EA}=\frac{5}{5}=1\\
&\frac{EC}{ED}=\frac{6}{6}=1
\end{align*}
Comme nous avons :
\frac{EB}{EA}=\frac{EC}{ED}=1
Alors les droites (AD) et (BC) sont parallèles.

Exercice 2


1) Calculer la longueur EC.
Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en E. De plus, les droites (AC) et (BD) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EC}=\frac{BD}{AC}
En remplaçant par les valeurs numériques :
\frac{4}{5}=\frac{6}{EC}=\frac{BD}{AC}
Nous souhaitons connaitre la longueur EC :
\begin{align*}
&\frac{4}{5}=\frac{6}{EC}\\
&EC=\frac{5\times 6}{4}\\
&EG=7.5 \text{ cm}
\end{align*}
EC mesure 7.5 centimètres.

2) Les points A, E, F d'une part et les points et C, E, G d'autre part sont alignés dans le même ordre. Nous avons :
\begin{align*}
&\frac{EA}{EF}=\frac{EA}{EB+BF}=\frac{5}{4+1}=\frac{5}{5}=1\\
&\frac{EC}{EG}=\frac{EC}{ED+DG}=\frac{7.5}{6+2}=\frac{7.5}{8}=0.9375
\end{align*}
Comme nous avons :
\frac{EA}{EF}\neq\frac{EC}{EG}
Alors les droites (AC) et (FG) ne sont pas parallèles.

Exercice 3


1) Le triangle AEB est rectangle en E donc d'après le théorème de Pythagore, nous avons :
AE^{2}+EB^{2}=AB^{2}
Calcul de la longueur EB :
\begin{align*}
&EB^{2}=AB^{2}-AE^{2}\\
&EB^{2}=1000^{2}-800^{2}\\
&EB^{2}=360000\\
&EB=\sqrt{360000}\\
&EB=600\text{ m}
\end{align*}
EB mesure 600 m, donc le village se situe à 600 mètres d'altitude.

2) Les droites (EB) et (CD) sont perpendiculaires à une même droite (AC) donc elles sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous avons :
\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{CD}
En remplaçant par les valeurs numériques :
\frac{800}{2000}=\frac{1000}{AD}=\frac{600}{CD}\\
Nous souhaitons connaitre la longueur CD :
\begin{align*}
&\frac{800}{2000}=\frac{600}{CD}\\
&CD=\frac{2000\times 600}{800}\\
&CD=1500 \text{ m}
\end{align*}
CD mesure 1500 mètres, ce qui signifie que l'altitude maximale à laquelle se situe le téléphérique est de 1500 mètres.

3) Il faut connaitre la distance AD. En utilisant le théorème de Thalès précédent, nous avions :
\frac{800}{2000}=\frac{1000}{AD}=\frac{600}{CD}
Nous pouvons calculer la longueur AD :
\begin{align*}
&\frac{800}{2000}=\frac{1000}{AD}\\
&AD=\frac{2000\times 1000}{800}
&AD=2500 \text{ m}
\end{align*}
AD mesure 2500 mètres, soit 2.5 km.
Pour connaitre le temps de parcours, nous avons la relation suivante :
v=\frac{d}{t}
Nous souhaitons connaitre le temps :
t=\frac{d}{v}=\frac{2.5}{10}=0.25\text{ heure}
Conversion de 0.25 heure en minutes :
0.25 \text{ h}=0.25\times 60 \text{ min} = 15\text{ min}
Il faut 15 minutes à ce téléphérique pour rejoindre la vallée.

Exercice 4


Les droites (FC) et (BG) sont sécantes en E. De plus, les droites (FG) et (BC) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\frac{EF}{EC}=\frac{EG}{EB}=\frac{FG}{BC}\\
En remplaçant par les valeurs numériques :
\frac{EF}{EC}=\frac{1}{2}=\frac{1.5}{BC}\\
Nous souhaitons connaitre la longueur BC :
\begin{align*}
&\frac{1}{2}=\frac{1.5}{BC}\\
&BC=\frac{2\times 1.5}{1}\\
&BC=3 \text{ m}
\end{align*}
BC mesure 3 mètres, ce qui signifie que la profondeur de ce puits est de 3 mètres.
Correction des exercices d'application sur le théorème de Thalès
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