THEOREME DE THALES

I) THEOREME DE THALES : RAPPELS (4ème)



Théorème
Soit un triangle quelconque ABC. M est un point appartenant au segment [AB], N un point appartenant au segment [AC] et les droites (MN) et (BC) sont parallèles :
Alors d'après le théorème de Thalès :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Exemple 1 : Soit un triangle ABC tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm. M est un point du segment [AB] tel que AM = 2 cm. N est un point du segment [AC] tel que la droite (MN) est parallèle à la droite (BC). Combien mesure la longueur AN ?
Etant donné que dans le triangle ABC, les droites (MN) et (BC) sont parallèles, nous avons d'après le théorème de Thalès :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
Nous connaissons AM, AB et AC et nous cherchons la longueur AN donc nous allons nous intéresser aux rapports des longueurs suivants :
\begin{align*}
&\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\\
&\frac{2}{6}=\frac{AN}{9}\\
\end{align*}
Nous pouvons en déduire la longueur AN :
\begin{align*}
AN&=\frac{2}{6}\times 9\\
&=3 \text{ cm}\\
\end{align*}
AN mesure 3 cm.


II) NOUVELLE CONFIGURATION DE THALES

La nouvelle configuration à laquelle on s'intéresse en troisième est celle où la droite (MN) est située "en-dehors" du triangle ABC :


Théorème
Les droites (d) et sont (d') sécantes en A. Les points M, A, B d'une part et N, A, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Alors d'après le théorème de Thalès :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}

Exemple 2 : Soit deux droites (MB) et (CN) sécantes en A. On donne AB = 10 cm, AM = 5 cm et BC = 12 cm. Combien mesure la longueur MN ?
Etant donné que les points M, A, B d'une part et N, A, C d'autre part sont alignés, et que les droites (MN) et (BC) sont parallèles, nous avons d'après le théorème de Thalès :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}
Nous connaissons AB, AM et BC et nous cherchons la longueur MN donc nous allons nous intéresser aux rapports des longueurs suivants :
\begin{align*}
&\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}\\
&\frac{5}{10}=\frac{MN}{12}\\
\end{align*}
Nous pouvons en déduire la longueur MN :
\begin{align*}
MN&=\frac{5}{10}\times 12\\
&=6 \text{ cm}\\
\end{align*}
MN mesure 6 cm.

III) RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
Soit la figure suivante :


Propriété
Si les points M, A, B d'une part et N, A, C d'autre part sont alignés dans le même ordre et si  nous avons :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

Exemple 3 : Dans la figure précédente, on donne : AB = 6 cm, AM = 8 cm, AC = 9 cm, AN = 12 cm. Les droites (MN) et (BC) sont elles parallèles ?
Les points M, A, B d'une part et N, A, C d'autre part sont alignés dans le même ordre. De plus, nous avons :
\frac{AM}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}
Et :
\frac{AN}{AC}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}
Comme nous avons :
\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Exemple 4 : Si les dimensions avaient été dans l'exemple précédent : AB = 4 cm, AM = 6 cm, AC = 5 cm, AN = 7 cm. Les droites (MN) et (BC) sont elles parallèles ?
Nous avons :
\frac{AM}{AB}=\frac{6}{4}=1.5
Et :
\frac{AN}{AC}=\frac{7}{5}=1.4
Comme nous avons :
\frac{AM}{AB}\neq\frac{AN}{AC}
Alors d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Cours sur le Théorème de Thalès
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