EXERCICES SUR LES SYSTEMES*** CORRECTION

EXERCICES DE BREVET

Exercice 1 (Nouvelle-Calédonie novembre 2012)

1) Si on additionne les membres du premier groupe et du deuxième groupe, on obtient 10 adultes et 10 enfants. Les deux groupes réunis auraient donc payés :
52 800 + 63 200 = 116 000 F.
Par conséquent, avec 120 000 F, un groupe de 10 adultes et 10 enfants a assez d'argent pour effectuer une sortie en voilier.

2) Soit  le prix d’une sortie adulte et y le prix d'une sortie enfants. Traduisons l’énoncé sous forme d’équations :
"[...] Un premier groupe composé de 4 adultes et 6 enfants a payé au total 52 800 F." : 4 + 6y = 52 800
"[...] Un deuxième groupe composé de 6 adultes et 4 enfants a payé au total 63 200 F pour la même sortie." : 6 + 4y = 63 200
On doit donc résoudre le système suivant :

Résolvons ce système à l'aide de la méthode par combinaison, plus simple que la méthode par substitution dans ce cas.

Une sortie adulte coûte 8 400 F tandis qu'une sortie enfant coûte 3 200 F. Par conséquent, le petit frère d'Emilie a tort.

3) Un adulte et un enfant paieront 11 600 F. En effet :
+ y = 8 400 + 3 200 = 11 600 F

Exercice 2 (France métropolitaine juin 2011)

Soit le prix d'un triangle de verre et y le prix d'un triangle de métal.
Le premier bijou est composé de 4 triangles de verre et 4 triangles de métal pour un coût de 11€ : 4 + 4y = 11.
Le deuxième bijou est composé de 6 triangles de verre et 2 triangles de métal pour un coût de 9€10 : 6 + 2y = 9,10.
Pour connaître le prix d'un triangle de verre et d'un triangle de métal, on doit résoudre le système suivant :

Résolvons ce système à l'aide de la méthode par combinaison :

Un triangle de verre coûte 0€90 et un triangle de métal coûte 1€85.
Le bijou n°3 se compose de 5 triangles de verre et de 3 triangles de métal. Par conséquent, son coût est égal à :
5 × 0,90 + 3 × 1,85 = 10€05
Le bijou n°3 coûtera 10€05.

Exercice 3 (Nouvelle Calédonie décembre 2011)

1) Vérifions les affirmations si Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg :
"Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis."
Poids de Caramel et Icare réunis : 500 + 700 = 1200 kg
Poids de Bubulle : 1200 kg
La première affirmation est vérifiée.
"Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis."
Poids de Caramel et Pâquerette réunis : 500 + 600 = 1100 kg
Poids d'Icare : 700 kg
1100 ≠ 700 donc la deuxième affirmation n'est pas vérifiée.
Par conséquent, Caramel ne pèse pas 500 kg et Icare ne pèse pas 700 kg.

2) Soit le poids d'Icare et y le poids de Caramel. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
"Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis." : 1200 = + y
"Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis." : = y + 600.
Pour connaître les poids d'Icare et de Caramel, on doit résoudre le système suivant :

On le résout ici par substitution :

Icare pèse 900 kg et Caramel pèse 300 kg.
Lorsqu'on somme le poids des 4 animaux, on obtient :
1200 + 600 + 900 + 300 = 3000 kg
Le camion peut transporter 3,2 tonnes soit 3200 kg. Comme le poids total est de 3000 kg, l'éleveur peut transporter tous les animaux ensemble.

Exercice 4 (Asie juin 2010)

Soit le prix d'un DVD et y le prix d'une bande dessinée.
S'il reste à Pierre 14€50, cela signifie qu'il a dépensé 75 - 14,50 = 60€50 pour l'achat d'1 DVD et 4 bandes dessinées.
Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
"Ils possèdent chacun 75€. Pierre achète 1 DVD et 4 bandes dessinées ; il lui reste 14€50." : 1 + 4y = 60,50
"Clothilde dépense 73€50 pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées." : 2 + 3y = 73,50
On doit donc résoudre le système suivant :

On le résout ici par combinaison :

Un DVD coûte 22€50 et une bande dessinée coûte 9€50.

Exercice 5 (France métropolitaine septembre 2010)

Soit le prix du grand meuble et y le prix du petit meuble.
La première composition comporte deux grands meubles et deux petits meubles pour un prix de 234€ : 2 + 2y = 234.
La deuxième composition comporte un grand meuble et trois petits meubles pour un prix de 162€ : 1 + 3y = 162.
Pour connaître et y, on doit résoudre le système suivant :

On le résout ci-dessous par la méthode de combinaison, en simplifiant la première ligne par 2 :

Un grand meuble coûte 94€50 et un petit meuble coûte 22€50.
Par conséquent, le lot composé de trois grands meubles et de deux petits meubles coûtera :
3 × 94,5 + 2 × 22,5 = 328€50
Cette composition coûte 328€50.

Exercice 6 (Amérique du Sud Novembre 2010)

1)
a) Lorsque = 10 et y = 2 :
45 + 30y = 45 × 10 + 30 × 2 = 450 + 60 = 510
= 10 et y = 2 sont solutions de la première équation.
27 + 20y = 27 × 10 + 20 × 2 = 270 + 40 = 310 ≠ 316
= 10 et y = 2 ne sont pas solutions de la deuxième équation.
Par conséquent, = 10 et y = 2 ne sont pas solutions du système.

b) Lorsque = 8 et y = 5 :
45 + 30y = 45 × 8 + 30 × 5 = 360 + 150 = 510
= 8 et y = 5 sont solutions de la première équation.
27 + 20y = 27 × 8 + 20 × 5 = 216 + 100 = 316
= 8 et y = 5 sont solutions de la deuxième équation.
Par conséquent, = 8 et y = 5 sont solutions du système.

2) Soit le nombre de places adultes et y le nombre de places enfants. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations.
"45€ par adulte et 30€ par enfant s'ils réservent en catégorie 1. [...] Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510€" : 45 + 30y = 510.
"27€ par adulte et 20€ par enfant s'ils réservent en catégorie 2. [...] 316€ s'ils réservent en catégorie 2." : 27 + 20y = 316.
On doit donc résoudre le système suivant :

Or nous connaissons les solutions de ce système, puisque nous les avons obtenues à la question 1)b).
Par conséquent = 8 et y = 5.
On en déduit que ce groupe d'amis est composé de 8 adultes et de 5 enfants.
Correction des exercices de brevet sur les systèmes d'équations à deux inconnues
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