SYSTEMES D'EQUATIONS
Correction des exercices ***

Exercice 1 (Nouvelle-Calédonie novembre 2012)

1) Si on additionne les membres du premier groupe et du deuxième groupe, on obtient 10 adultes et 10 enfants. Les deux groupes réunis auraient donc payés :
52 800 + 63 200 = 116 000 F.
Par conséquent, avec 120 000 F, un groupe de 10 adultes et 10 enfants a assez d'argent pour effectuer une sortie en voilier.

2) Soit x le prix d’une sortie adulte et y le prix d'une sortie enfants. Traduisons l’énoncé sous forme d’équations :
"[...] Un premier groupe composé de 4 adultes et 6 enfants a payé au total 52 800 F."
4x+6y=52800 .
"[...] Un deuxième groupe composé de 6 adultes et 4 enfants a payé au total 63 200 F pour la même sortie." :
6x+4y=63200 .
On doit donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} 4x+6y=52800\\ 6x+4y=63200 \end{cases}
Résolvons ce système à l'aide de la méthode par combinaison, plus simple que la méthode par substitution dans ce cas.

\\ \begin{cases} 4x+6y=52800 \qquad (\times 3)\\ 6x+4y=63200 \qquad (\times 2) \end{cases} \\ \begin{cases} 12x+18y=158400 \qquad (L_{1}-L_{2})\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \begin{cases} 10y=158400-126400\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \begin{cases} 10y=32000\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{32000}{10}\\ 12x+8y=126400 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3200\\ 12x+8\times 3200=126400 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3200\\ 12x+25600=126400 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3200\\ 12x=126400-25600 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3200\\ 12x=100800 \end{cases} \\ \begin{cases} y=3200\\ x=\frac{100800}{12} \end{cases} \\ \begin{cases} x=8400\\ y=3200 \end{cases} \\
Une sortie adulte coûte 8 400 F tandis qu'une sortie enfant coûte 3 200 F. Par conséquent, le petit frère d'Emilie a tort.

3) Un adulte et un enfant paieront 11 600 F. En effet :
x+y=8400+3200=11600

Exercice 2 (France métropolitaine juin 2011)

Soit x le prix d'un triangle de verre et y le prix d'un triangle de métal.
Le premier bijou est composé de 4 triangles de verre et 4 triangles de métal pour un coût de 11€ :
4x+4y=11
Le deuxième bijou est composé de 6 triangles de verre et 2 triangles de métal pour un coût de 9€10 :
6x+2y=9,10
Pour connaître le prix d'un triangle de verre et d'un triangle de métal, on doit résoudre le système suivant :
\begin{cases} 4x+4y=11\\ 6x+2y=9,1 \end{cases}
Résolvons ce système à l'aide de la méthode par combinaison :

\\ \begin{cases} 4x+4y=11\\ 6x+2y=9,1 \qquad (\times 2) \end{cases} \\ \begin{cases} 4x+4y=11\\ 12x+4y=18,2 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases} \\ \begin{cases} 4x+4y=11\\ 8x=18,2-11 \end{cases} \\ \begin{cases} 4x+4y=11\\ 8x=7,2 \end{cases} \\ \begin{cases} 4x+4y=11\\ x=\frac{7.2}{8} \end{cases} \\ \begin{cases} 4x+4y=11\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} 4\times 0.9+4y=11\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} 3.6+4y=11\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} 4y=11-3.6\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} 4y=7.4\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{7.4}{4}\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} y=1,85\\ x=0,9 \end{cases} \\ \begin{cases} x=0,9\\ y=1,85 \end{cases} \\
Un triangle de verre coûte 0€90 et un triangle de métal coûte 1€85.
Le bijou n°3 se compose de 5 triangles de verre et de 3 triangles de métal. Par conséquent, son coût est égal à :
5 × 0,90 + 3 × 1,85 = 10€05
Le bijou n°3 coûtera 10€05.

Exercice 3 (Nouvelle Calédonie décembre 2011)

1) Vérifions les affirmations si Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg :
"Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis."
Poids de Caramel et Icare réunis : 500 + 700 = 1200 kg
Poids de Bubulle : 1200 kg
La première affirmation est vérifiée.
"Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis."
Poids de Caramel et Pâquerette réunis : 500 + 600 = 1100 kg
Poids d'Icare : 700 kg
1100 ≠ 700 donc la deuxième affirmation n'est pas vérifiée.
Par conséquent, Caramel ne pèse pas 500 kg et Icare ne pèse pas 700 kg.

2) Soit x le poids d'Icare et y le poids de Caramel. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
"Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis." :
1200=x+y
"Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis." :
x=y+600
Pour connaître les poids d'Icare et de Caramel, on doit résoudre le système suivant :
\begin{cases} x+y=1200\\ x=y+600 \end{cases}
On le résout ici par substitution :

\\ \begin{cases} x+y=1200\\ x=y+600 \end{cases} \\ \begin{cases} y+600+y=1200\\ x=y+600 \end{cases} \\ \begin{cases} 2y+600=1200\\ x=y+600 \end{cases} \\ \begin{cases} 2y=1200-600\\ x=y+600 \end{cases} \\ \begin{cases} 2y=600\\ x=y+600 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{600}{2}\\ x=y+600 \end{cases} \\ \begin{cases} y=300\\ x=300+600 \end{cases} \\ \begin{cases} y=300\\ x=900 \end{cases} \\ \begin{cases} x=900\\ y=300 \end{cases} \\
Icare pèse 900 kg et Caramel pèse 300 kg.
Lorsqu'on somme le poids des 4 animaux, on obtient :
1200 + 600 + 900 + 300 = 3000 kg
Le camion peut transporter 3,2 tonnes soit 3200 kg. Comme le poids total est de 3000 kg, l'éleveur peut transporter tous les animaux ensemble.

Exercice 4 (Asie juin 2010)

Soit x le prix d'un DVD et y le prix d'une bande dessinée.
S'il reste à Pierre 14€50, cela signifie qu'il a dépensé 75 - 14,50 = 60€50 pour l'achat d'1 DVD et 4 bandes dessinées.
Traduisons l'énoncé sous forme d'équations :
"Ils possèdent chacun 75€. Pierre achète 1 DVD et 4 bandes dessinées ; il lui reste 14€50." :
x+4y=60,50
"Clothilde dépense 73€50 pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées." :
2x+3y=73,50
On doit donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} x+4y=60,50\\ 2x+3y=73,50 \end{cases}
On le résout ici par combinaison :

\\ \begin{cases} x+4y=60,50 \qquad (\times 2)\\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} 2x+8y=121 \qquad (L_{1}-L_{2})\\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} 8y-3y=121-73,50 \\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} 5y=47,5 \\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} y=\frac{47,5}{5} \\ 2x+3y=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} y=9,5 \\ 2x+3\times 9,5=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} y=9,5 \\ 2x+28,5=73,50 \end{cases} \\ \begin{cases} y=9,5 \\ 2x=73,50-28,5 \end{cases} \\ \begin{cases} y=9,5 \\ 2x=45 \end{cases} \\ \begin{cases} y=9,5 \\ x=\frac{45}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} y=9,5 \\ x=22,5 \end{cases} \\ \begin{cases} x=22,5\\ y=9,5 \end{cases}
Un DVD coûte 22€50 et une bande dessinée coûte 9€50.

Exercice 5 (France métropolitaine septembre 2010)

Soit x le prix du grand meuble et y le prix du petit meuble.
La première composition comporte deux grands meubles et deux petits meubles pour un prix de 234€ :
2x+2y=234
La deuxième composition comporte un grand meuble et trois petits meubles pour un prix de 162€ :
x+3y=162
Pour connaître x et y, on doit résoudre le système suivant :
\begin{cases} 2x+2y=234\\ x+3y=162 \end{cases}
On le résout ci-dessous par la méthode de combinaison, en simplifiant la première ligne par 2 :

\\ \begin{cases} 2x+2y=234 \qquad (L_{1}/2)\\ x+3y=162 \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=117\\ x+3y=162 \qquad (L_{2}-L_{1}) \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=117\\ 3y-y=162-117 \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=117\\ 2y=45 \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=117\\ y=\frac{45}{2} \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=117\\ y=22,5 \end{cases} \\ \begin{cases} x+22,5=117\\ y=22,5 \end{cases} \\ \begin{cases} x=117-22,5\\ y=22,5 \end{cases} \\ \begin{cases} x=94,5\\ y=22,5 \end{cases} \\
Un grand meuble coûte 94€50 et un petit meuble coûte 22€50.
Par conséquent, le lot composé de trois grands meubles et de deux petits meubles coûtera :
3 × 94,5 + 2 × 22,5 = 328€50
Cette composition coûte 328€50.

Exercice 6 (Amérique du Sud Novembre 2010)

1)
a) Lorsque x=10 et y=2 :
45x+30y=45\times 10+30\times 2=450+60=510
x=10 et y=2 sont solutions de la première équation.
27x+20y=27\times 10+20\times2=270+40=310\neq 316
x=10 et y=2 ne sont pas solutions de la deuxième équation.
Par conséquent, x=10 et y=2 ne sont pas solutions du système.

b) Lorsque x=8 et y=5 :
45x+30y=45\times 8 +30\times 5=360+150=510
x=8 et y=5 sont solutions de la première équation.
27x+20y=27\times 8+20\times 5=216+100=316
x=8 et y=5  sont solutions de la deuxième équation.
Par conséquent, x=8 et y=5  sont solutions du système.

2) Soit x le nombre de places adultes et y le nombre de places enfants. Traduisons l'énoncé sous forme d'équations.
"45€ par adulte et 30€ par enfant s'ils réservent en catégorie 1. [...] Le coût total pour ce groupe d'amis est de 510€" :
45x+30y=510
"27€ par adulte et 20€ par enfant s'ils réservent en catégorie 2. [...] 316€ s'ils réservent en catégorie 2." :
27x+20y=316
On doit donc résoudre le système suivant :
\begin{cases} 45x+30y=510\\ 27x+20y=316 \end{cases}
Or nous connaissons les solutions de ce système, puisque nous les avons obtenues à la question 1)b).
Par conséquent x=8 et y=5 .
On en déduit que ce groupe d'amis est composé de 8 adultes et de 5 enfants.
Correction des exercices de brevet sur les systèmes d'équations à deux inconnues pour la troisième (3ème)
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