RACINES CARREES

I) RAPPELS : CARRE D'UN NOMBRE

Définition
Pour tout nombre a, le carré de a est tel que a^{2}=a\times a.


Exemples :
Calculer 32 et 72.
32 = 3 × 3 = 9
72 = 7 × 7 = 49

Sachant que a^{2}=64, quelles peuvent être les valeurs de a ?
On a soit a=8, soit a=-8 car 82 = 64 et (-8)2 = 64.

II) RACINE CARREE D'UN NOMBRE POSITIF

A) Définitions

  Il faut que a soit positif. On ne peut pas écrire \sqrt{-3} par exemple.
Exemples :
= 7 car 72 = 49 et 7 est un nombre positif. -7 n’est pas valable : son carré vaut 49 mais -7 est négatif.
car et est un nombre positif.

Exemples :
\sqrt{1156}=34. La racine carrée de 1156 est un entier donc 1156 est un carré parfait.
\sqrt{3}\approx 1.73. La racine carrée de 3 n’est pas un nombre entier donc 3 n’est pas un carré parfait.
 Il est utile d’apprendre par cœur les premiers carrés parfaits à savoir :
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 et 225.

B) Propriétés

Définition
Pour tout nombre positif a\sqrt{a^{2}}=a et (\sqrt{a})^{2}=a.


Exemples :
\begin{align*}
&\sqrt{6^{2}}=6\\
&(\sqrt{14})^{2}=14
\end{align*}


III) PRODUIT ET QUOTIENT DE RACINES CARREES

A) Produit de racines carrées

Propriété
Pour tous nombres positifs a et b, on a :
\sqrt{ab}=\sqrt{a} \times \sqrt{b}
Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit.

Exemple 1 :
\begin{align*}
&\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\\
&\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=\sqrt{16} \times \sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{align*}

Exemple 2 :
Ecrire les nombres \sqrt{80} et \sqrt{75} sous la forme a\sqrt{b}, où a et b sont deux nombres entiers positifs, b étant le plus petit possible.
Méthode :
1) Sous la racine, on fait apparaître le produit du plus grand carré parfait possible par un entier.
2) On décompose ensuite la racine carrée en appliquant les propriétés précédentes.
Ecrivons \sqrt{80} sous la forme a\sqrt{b} :
\sqrt{80}=\sqrt{\color{red}{16} \color{black}{\times 5}} (16=4^{2} est le plus grand carré parfait possible).
\sqrt{80}=\sqrt{16}\times \sqrt{5} (on applique la propriété \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b})
\begin{align*}
\sqrt{80}&=4\times \sqrt{5}\\
&=4\sqrt{5}
\end{align*}

Ecrivons à présent \sqrt{75} sous la forme a\sqrt{b} :
\sqrt{75}=\sqrt{\color{red}{25} \color{black}{\times 3}} (25=5^{2} est le plus grand carré parfait possible).
\sqrt{75}=\sqrt{25}\times \sqrt{3}  (on applique la propriété \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b})
\begin{align*}
\sqrt{75}&=5\times \sqrt{3}\\
&=5\sqrt{3}
\end{align*}

B) Quotient de racines carrées

Définition
Pour tous nombres positifs a et b avec b\neq 0, on a :
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient.

Exemple 1 :
\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}

Exemple 2 :
Ecrire sous forme d’un quotient sans radical au dénominateur.
Méthode :
1) On utilise la propriété précédente de manière à écrire la racine du quotient en un quotient de racines :
\sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}

2) On multiplie le numérateur et le dénominateur par \sqrt{5} puis on applique les propriétés de la racine carrée.
\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^{2}}=\frac{6\sqrt{5}}{5} 


IV) EQUATION DE LA FORME x2 = a

Propriété
Pour tout nombre relatif a :
- Si a > 0, alors l'équation x^{2}=a admet deux solutions : \sqrt{a} et -\sqrt{a}.
- Si a = 0, alors l'équation x^{2}=a admet une unique solution : 0.
- Si a < 0, alors l'équation x^{2}=a n'admet aucune solution.


Démonstration :

\begin{align*}
&x^{2}-a=0\\
&x^{2}-(\sqrt{a})^{2}=0\\
&(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0
\end{align*}
(On utilise l’identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)).
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :

Cette équation admet deux solutions : \sqrt{a} et -\sqrt{a}.
\begin{align*}
&x^{2}=a=0\\
&x^{2}=0
\end{align*}
donc x=0
On a bien une seule solution à cette équation : 0.

Exemples :
5 > 0 donc l’équation x^{2}=5 admet deux solutions : \sqrt{5} et -\sqrt{5}.
-8 < 0 donc l’équation x^{2}=-8 n’admet aucune solution.
49 > 0 donc l’équation x^{2}=49 admet deux solutions : \sqrt{49}=7 et -\sqrt{49}=-7.


V) APPLICATIONS NUMERIQUES

Lorsqu’on a une expression à simplifier, il se peut qu’elle contienne un ou plusieurs radicaux. Les règles de calcul concernant la distributivité, la factorisation ou encore les identités remarquables restent valables en présence de radicaux.

Exemple distributivité :
\begin{align*}
\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})&=\sqrt{2}\times \sqrt{3}+\sqrt{2} \times \sqrt{2}\\
&\sqrt{2\times 3}+\sqrt{2\times 2}\\
&=\sqrt{6}+\sqrt{4}\\
&=2+\sqrt{6}
\end{align*}

Exemple factorisation :
\begin{align*}
\sqrt{50}-\sqrt{32}&=\sqrt{25\times 2}-\sqrt{16\times 2}\\
&=\sqrt{25}\times \sqrt{2}-\sqrt{16}\times \sqrt{2}\\
&=5\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\
&=\sqrt{2}(5-4)\\
&=\sqrt{2}
\end{align*}

Exemples avec identités remarquables :




VI) APPLICATIONS GEOMETRIQUES

Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que AB=a.
Déterminer la longueur BC.

AB=AC=a
ABC est rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
\begin{align*}
&AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\\
&BC^{2}=a^{2}+a^{2}\\
&BC^{2}=2a^{2}\\
&BC=\sqrt{2a^{2}}\\
&BC=\sqrt{2}\times \sqrt{a^{2}}\\
&BC=\sqrt{2}\times a\\
&BC=a\sqrt{2}
\end{align*}
L’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle vaut a\sqrt{2}.
Cours sur les racines carrées
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