RACINES CARREES
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I) Rappels : Carré d'un nombre
Définition
Pour
tout nombre \(a\), le carré de \(a\) est tel que \(a^{2}=a\times a\).
Exemples :
Calculer \(3^{2}\) et \(7^{2}\).
\(3^{2}=3\times 3 = 9\)
\(7^{2}=7\times 7 = 49\)
Sachant que \(a^{2}=64\), quelles peuvent être les valeurs de \(a\) ?
On a soit \(a=8\), soit \(a=-8\) car \(8^{2}=64\) et \((-8)^{2}=64\).
II) Racine carrée d'un nombre positif
A) Définitions
Définition
La racine carrée d'un
nombre positif \(a\)
est le nombre positif noté \(\sqrt{a}\)
dont le carré est égal à \(a\). \(\sqrt{a}\) se
lit « racine carrée de \(a\)
». On appelle radical le symbole suivant : \(\sqrt{\;}\).
Il faut que \(a\) soit
positif. On ne peut pas écrire \(\sqrt{-3}\) par exemple.
Exemples :
\(\sqrt{49}=7\) car \(7^{2}=49\) et \(7\) est un nombre positif. \(-7\) n’est pas valable : son carré vaut 49 mais \(-7\) est négatif.
\(\displaystyle \sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\) car \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}\) et \(\displaystyle \frac{25}{2}\) est un nombre positif.
Exemples :
\(\sqrt{49}=7\) car \(7^{2}=49\) et \(7\) est un nombre positif. \(-7\) n’est pas valable : son carré vaut 49 mais \(-7\) est négatif.
\(\displaystyle \sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}\) car \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}\) et \(\displaystyle \frac{25}{2}\) est un nombre positif.
Définition
Si la racine carrée d'un nombre entier est un
nombre entier positif, alors son carré est appelé carré
parfait.
Exemples :
\(\sqrt{1156}=34\). La racine carrée de \(1156\) est un entier donc \(1156\) est un carré parfait.
\(\sqrt{3}\approx 1.73\). La racine carrée de 3 n’est pas un nombre entier donc 3 n’est pas un carré parfait.
Il est utile d'apprendre par cœur les premiers carrés parfaits à savoir :
\(0, 1, 4, 9, 16\) \(,25, 36, 49, 64\) \(,81, 100, 121, 144\) \(,169, 196\) et \(225\).
\(\sqrt{1156}=34\). La racine carrée de \(1156\) est un entier donc \(1156\) est un carré parfait.
\(\sqrt{3}\approx 1.73\). La racine carrée de 3 n’est pas un nombre entier donc 3 n’est pas un carré parfait.
Il est utile d'apprendre par cœur les premiers carrés parfaits à savoir :
\(0, 1, 4, 9, 16\) \(,25, 36, 49, 64\) \(,81, 100, 121, 144\) \(,169, 196\) et \(225\).
B) Propriétés
Définition
Pour tout nombre positif \(a\), \(\sqrt{a^{2}}=a\) et \((\sqrt{a})^{2}=a\).
Exemples :
\(\sqrt{6^{2}}=6\)
\((\sqrt{14})^{2}=14\)
\(\sqrt{6^{2}}=6\)
\((\sqrt{14})^{2}=14\)
III) Produit et quotient de racines carrées
A) Produit de racines carrées
Propriété
Pour tous nombres positifs \(a\) et \(b\), on a :
\[ \sqrt{ab}=\sqrt{a} \times \sqrt{b} \] Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit.
\[ \sqrt{ab}=\sqrt{a} \times \sqrt{b} \] Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit.
Exemple
1 :
\[ \begin{align*}
&\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\\
&\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=\sqrt{16} \times \sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{align*} \]
Exemple 2 :
Ecrire les nombres \(\sqrt{80}\) et \(\sqrt{75}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres entiers positifs, \(b\) étant le plus petit possible.
Méthode :
1) Sous la racine, on fait apparaître le produit du plus grand carré parfait possible par un entier.
2) On décompose ensuite la racine carrée en appliquant les propriétés précédentes.
Ecrivons \(\sqrt{80}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) :
\(\sqrt{80}=\sqrt{\color{red}{16} \color{black}{\times 5}}\) (\(16=4^{2}\) est le plus grand carré parfait possible).
\(\sqrt{80}=\sqrt{16}\times \)\(\sqrt{5}\) (on applique la propriété \(\sqrt{ab}=\)\(\sqrt{a}\times \)\(\sqrt{b}\))
\(\sqrt{80}=4\times \sqrt{5}\)
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
Ecrivons à présent \(\sqrt{75}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) :
\(\sqrt{75}=\sqrt{\color{red}{25} \color{black}{\times 3}}\) (\(25=5^{2}\) est le plus grand carré parfait possible).
\(\sqrt{75}=\sqrt{25}\times \sqrt{3} \) (on applique la propriété \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\))
\(\sqrt{75}=5\times \sqrt{3}\)
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)
\[ \begin{align*}
&\sqrt{2}\times \sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\\
&\sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=\sqrt{16} \times \sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{align*} \]
Exemple 2 :
Ecrire les nombres \(\sqrt{80}\) et \(\sqrt{75}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres entiers positifs, \(b\) étant le plus petit possible.
Méthode :
1) Sous la racine, on fait apparaître le produit du plus grand carré parfait possible par un entier.
2) On décompose ensuite la racine carrée en appliquant les propriétés précédentes.
Ecrivons \(\sqrt{80}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) :
\(\sqrt{80}=\sqrt{\color{red}{16} \color{black}{\times 5}}\) (\(16=4^{2}\) est le plus grand carré parfait possible).
\(\sqrt{80}=\sqrt{16}\times \)\(\sqrt{5}\) (on applique la propriété \(\sqrt{ab}=\)\(\sqrt{a}\times \)\(\sqrt{b}\))
\(\sqrt{80}=4\times \sqrt{5}\)
\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)
Ecrivons à présent \(\sqrt{75}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\) :
\(\sqrt{75}=\sqrt{\color{red}{25} \color{black}{\times 3}}\) (\(25=5^{2}\) est le plus grand carré parfait possible).
\(\sqrt{75}=\sqrt{25}\times \sqrt{3} \) (on applique la propriété \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\))
\(\sqrt{75}=5\times \sqrt{3}\)
\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)
B) Quotient de racines carrées
Définition
Pour tous nombres positifs \(a\)
et \(b\) avec \(b\neq 0\), on a :
\[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \] Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient.
\[ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \] Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient.
Exemple
1 :
\(\displaystyle \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\)
Exemple 2 :
Ecrire\(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{5}}\) sous forme d’un quotient sans radical au dénominateur.
Méthode :
1) On utilise la propriété précédente de manière à écrire la racine du quotient en un quotient de racines :
\(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
2) On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5}\) puis on applique les propriétés de la racine carrée.
\(\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^{2}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)
\(\displaystyle \sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}\)
Exemple 2 :
Ecrire\(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{5}}\) sous forme d’un quotient sans radical au dénominateur.
Méthode :
1) On utilise la propriété précédente de manière à écrire la racine du quotient en un quotient de racines :
\(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{5}}=\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
2) On multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5}\) puis on applique les propriétés de la racine carrée.
\(\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{6\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^{2}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}\)
IV) Equation de la forme \(x^{2}=a\)
Propriété
Pour tout nombre relatif a :
- Si \(a > 0\), alors
l'équation \(x^{2}=a\) admet
deux solutions : \(\sqrt{a}\)
et \(-\sqrt{a}\).
- Si \(a = 0\), alors l'équation \(x^{2}=a\) admet une unique solution : 0.
- Si \(a < 0\), alors l'équation \(x^{2}=a\) n'admet aucune solution.
- Si \(a = 0\), alors l'équation \(x^{2}=a\) admet une unique solution : 0.
- Si \(a < 0\), alors l'équation \(x^{2}=a\) n'admet aucune solution.
Démonstration :
-
- Si \(a>0\),
alors l’équation \(x^{2}=a\) peut
s’écrire :
\[
\begin{align*}
&x^{2}-a=0\\
&x^{2}-(\sqrt{a})^{2}=0\\
&(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0
\end{align*} \] (On utilise l’identité remarquable \(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)).
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\\ x-\sqrt{a}=0 \qquad \text{ ou } \qquad x+\sqrt{a}=0\\ x=\sqrt{a} \qquad \qquad \; \; \; \; \; \qquad x=-\sqrt{a} \] Cette équation admet deux solutions : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).
&x^{2}-a=0\\
&x^{2}-(\sqrt{a})^{2}=0\\
&(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0
\end{align*} \] (On utilise l’identité remarquable \(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)).
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\[
\\ x-\sqrt{a}=0 \qquad \text{ ou } \qquad x+\sqrt{a}=0\\ x=\sqrt{a} \qquad \qquad \; \; \; \; \; \qquad x=-\sqrt{a} \] Cette équation admet deux solutions : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).
-
- Si \(a=0\), alors :
\[
\begin{align*}
&x^{2}=a=0\\
&x^{2}=0
\end{align*} \] donc \(x=0\)
On a bien une seule solution à cette équation : 0.
&x^{2}=a=0\\
&x^{2}=0
\end{align*} \] donc \(x=0\)
On a bien une seule solution à cette équation : 0.
-
Si \(a<0\),
l’équation \(x^{2}=a\) n’a
pas de solution car un carré n’est jamais
négatif.
Exemples :
5 > 0 donc l’équation \(x^{2}=5\) admet deux solutions : \(\sqrt{5}\) et \(-\sqrt{5}\).
-8 < 0 donc l’équation \(x^{2}=-8\) n’admet aucune solution.
49 > 0 donc l’équation \(x^{2}=49\) admet deux solutions : \(\sqrt{49}=7\) et \(-\sqrt{49}=-7\).
V) Applications numériques
Lorsqu’on a une expression à simplifier, il se peut qu’elle contienne un ou plusieurs radicaux. Les règles de calcul concernant la distributivité, la factorisation ou encore les identités remarquables restent valables en présence de radicaux.Exemple distributivité :
\[ \begin{align*}
\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})&=\sqrt{2}\times \sqrt{3}+\sqrt{2} \times \sqrt{2}\\
&\sqrt{2\times 3}+\sqrt{2\times 2}\\
&=\sqrt{6}+\sqrt{4}\\
&=2+\sqrt{6}
\end{align*} \]
Exemple factorisation :
\[ \begin{align*}
\sqrt{50}-\sqrt{32}&=\sqrt{25\times 2}-\sqrt{16\times 2}\\
&=\sqrt{25}\times \sqrt{2}-\sqrt{16}\times \sqrt{2}\\
&=5\sqrt{2}-4\sqrt{2}\\
&=\sqrt{2}(5-4)\\
&=\sqrt{2}
\end{align*} \]
Exemples avec identités remarquables :
\[ \begin{align*}
\\ A&=(3+\sqrt{2})^{2}\\ &=3^{2}+2\times 3\times \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}\\ &=9+6\sqrt{2}+2\\ &=11+6\sqrt{2}\\ & \\ B&=(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})\\ &=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}\\ &=3-5\\ &=-2 \\ & \\ C&=(\sqrt{8}-\sqrt{2})^{2}\\ &=(\sqrt{8})^{2}-2\times \sqrt{8} \times \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}\\ &=8-8+2\\ &=2 \end{align*} \]
VI) Applications géométriques
Soit ABC un triangle isocèle rectangle en A tel que \(AB=a\).Déterminer la longueur BC.
\(AB=AC=a\)
ABC est rectangle en A donc d’après le théorème de Pythagore, on a :
\[ \begin{align*}
&AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}\\
&BC^{2}=a^{2}+a^{2}\\
&BC^{2}=2a^{2}\\
&BC=\sqrt{2a^{2}}\\
&BC=\sqrt{2}\times \sqrt{a^{2}}\\
&BC=\sqrt{2}\times a\\
&BC=a\sqrt{2}
\end{align*} \] L’hypoténuse d’un triangle isocèle rectangle vaut \(a\sqrt{2}\).