PROPORTIONNALITE

TABLEAU DE PROPORTIONNALITE

Définition
On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant ou en divisant toutes les valeurs de l'autre par le même nombre. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité s'obtient en divisant le nombre d'arrivée par le nombre de départ.


Exemple 1 : Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

Poids (en kg) 2 3 10
Prix (en €) 3 4.50 15

Pour obtenir les prix, on remarque que l'on multiplie tous les poids par 1.5. Par conséquent, il s'agit bien d'un tableau de proportionnalité, puisqu'on multiplie toutes les valeurs de la première ligne par 1.5 pour obtenir celles de la seconde ligne. 1.5 est le coefficient de proportionnalité.

Exemple 2 : Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?

Nombre de places de cinéma 2 5 10
Prix (en €) 12 20 35

Pour obtenir les prix, on remarque que l'on multiplie le nombre de places par 6, puis par 4, puis par 3.5. Par conséquent, ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.

Exemple 3 : Compléter ce tableau, sachant qu'il s'agit d'un tableau de proportionnalité :

Nombre de litres d'essence 2 4 6
Prix (en €) 2.60 ... ...

 On détermine tout d'abord le coefficient de proportionnalité :

Le coefficient de proportionnalité est égal à 1.3. On multiplie par conséquent tous les éléments de la première ligne du tableau par 1.3 pour obtenir ceux de la seconde ligne :

Nombre de litres d'essence 2 4 6
Prix (en €) 2.60 4 × 1.3 = 5.20
6 × 1.3 = 7.80

Remarque
Les règles de linéarité sont respectées pour un tableau de proportionnalité.


Exemple 3 bis : En utilisant l'exemple précédent, le prix de 6 litres d'essence est égal au prix payé pour 2 litres plus le prix payé pour 4 litres :
2.60 + 5.20 = 7.80, et on retrouve le résultat que l'on a calculé avec le coefficient de proportionnalité.



POURCENTAGE

A) Appliquer un taux de pourcentage

Définition
Calculer a% d'une quantité, c'est multiplier cette quantité par a/100.


Exemple 4 : Un concessionnaire a vendu 150 voitures le mois dernier. Parmi elles, 30% sont des citadines. Combien de citadines ce garage a-t-il vendu ?

Ce concessionnaire a vendu 45 citadines.

B) Calculer un pourcentage

Définition
Calculer un pourcentage revient à exprimer un nombre, une statistique, une quantité comme une fraction de 100. Cela revient à effectuer un calcul de proportionnalité pour 100 personnes.

Exemple 5 : Un libraire a vendu 1200 livres cette semaine, dont 540 romans. Quel pourcentage de la vente des livres représentent les romans ?
La question revient à savoir pour 100 livres, combien le libraire a vendu de romans. On peut faire un tableau de proportionnalité :

Nombre de romans 540
Nombre de livres 1200 100


= 45
Sur 100 livres vendus, 45 sont des romans. Par conséquent, les romans représentent 45% des ventes de ce libraire.

C) Calculer une valeur d'arrivée

Exemple 6 : Une veste coûte 90€. Elle est soldée à 40%. Quel est son prix après la remise ?
Calcul du montant de la réduction :

Le montant de la réduction est de 36€.
La veste coûte, après remise :
90 - 36 = 54€
le prix de la veste après remise est de 54€.


D) Calculer une valeur de départ

Exemple 7 : Après avoir subi une augmentation de 10%, le prix du litre d'essence est de 1€40. Quel était le tarif avant l'augmentation ?
Soit le prix d'un litre d'essence avant l'augmentation.
Le montant de l'augmentation est égal à :

Le nouveau prix est donc égal à :
+ 0.1 = 1.1
Or le nouveau prix est de 1€40 donc nous devons résoudre l'équation suivante :
1.1 = 1.40
Ce qui donne :

Le prix d'un litre d'essence avant augmentation était approximativement de 1€273.



VITESSE, DISTANCE, DUREE

Définition
Lorsqu'un objet parcourt une distance d pendant une période t, alors sa vitesse moyenne notée v est égale à :
v = d/t
Pour les unités, si d est exprimé en km et t en heures, alors la vitesse v s'exprimera en km/h.
Si d est exprimé en km et t en secondes, alors la vitesse v s'exprimera en m/s.

A) Calculer une vitesse

Exemple 8 : Un TGV parcourt 1200 km en 5 heures. Quelle est la vitesse moyenne de ce train ?

Ce TGV roule à une vitesse moyenne de 240 km/h.

Exemple 9 : Un catamaran a parcouru 10 km en une demi-heure. Déterminer sa vitesse en km/h, puis en m/s.
1/2h = 0.5 heure
Calcul de la vitesse moyenne (en km/h) :

Ce catamaran vogue à la vitesse de 20 km/h.
Pour déterminer la vitesse en mètres par seconde, on exprime la distance en mètres et le temps en secondes.
d = 10 km = 10000 m
t = 1/2h = 0.5 × 3600s = 1800s
Calcul de la vitesse moyenne (en m/s) :

Le catamaran vogue à une vitesse approximativement égale à 5.56 m/s.

Remarque
La vitesse, la distance et le temps s'inscrivent dans une relation de proportionnalité. Connaissant deux de ces grandeurs, il est possible de déterminer la troisième.

B) Calculer un temps

Exemple 10 : Un cycliste a parcouru 15 km à la vitesse moyenne de 40 km/h. Combien de temps a-t-il mis ?

Donc :

t = 15/40
t = 0.375 h
Convertissons 0.375 heure en minutes :
0.375 h = 0.375 × 60 min = 22.5 min
Convertissons 22.5 min en minutes et secondes :
22.5 min = 22 min + 0.5 min = 22 min + 0.5 × 60 s = 22 min 30s
Le cycliste a mis 22 minutes et 30 secondes pour parcourir 15 km à 40 km/h de moyenne.

C) Calculer une distance

Exemple 11 : Un camion roule à 80 km/h pendant 1 heure et 45 minutes. Quelle distance a-t-il parcouru ?
Transformons 1 h 45 min en heures :
t = 1 h 45 min = 1h + 45/60 h = 1.75 h
Nous avons :

Par conséquent :
d = v × t
d = 80 × 1.75
d = 140
Ce camion aura parcouru 140 km pour son trajet d'1 heure 45minutes à la vitesse moyenne de 80 km/h.
Cours sur la proportionnalité
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