CORRECTION DU BREVET POLYNESIE 2016

CORRECTION DU BREVET POLYNESIE JUIN 2016

Exercice 1 (6 points)


1)
a) 83 000 tickets permettent de gagner 4€ sachant qu'il y a 750 000 tickets ; la probabilité de gagner 4€ est donc égale à :
\frac{83000}{750000}\approx 0.111
La probabilité de gagner 4€ est approximativement de 0.111.

b) Nombre de tickets gagnants (2€ ou plus) :
100000+83000+20860+5400+8150+400+15+2=217827
Ou plus rapidement :
750000-532173=217827
Il y a 217 827 tickets gagnants.
La probabilité d'obtenir un ticket gagnant est égale à :
\frac{217827}{750000}\approx 0.29
La probabilité d'obtenir un ticket gagnant est approximativement de 0.29.

c) Nombre de tickets dont le gain est supérieur ou égal à 10€ :
5400+8150+400+15+2=13967
La probabilité d'obtenir un gain supérieur à 10€ est égale à :
\frac{13967}{750000}\approx 0.0186\approx 1.86\%
On a environ 1.86% de chance (soit moins de 2%) d'obtenir un ticket dont le montant du gain est supérieur ou égal à 10€.

2) Si Tom achète un lot de 750000 tickets à 2€, cela va lui coûter :
750000\times 2=1500000\euro
La somme qu'il va gagner est égale à :
\begin{align*}
&100000\times 2+83000\times 4+20860\times 6+5400\times 12+ 8150\times 20+400\times 150+15\times 1000+2\times 15000\\
=&989960\euro
\end{align*}
Cela lui coûte plus cher que cela ne lui rapporte, par conséquent Tom a tort.

Exercice 2 (6 points)

• Choisir un nombre entier positif
• Ajouter 1
• Calculer le carré du résultat obtenu
• Enlever le carré du nombre de départ.

1) En prenant 3 comme nombre de départ :
• Choisir un nombre entier positif : 3
• Ajouter 1 : 3+1=4
• Calculer le carré du résultat obtenu 4^{2}=16
• Enlever le carré du nombre de départ. 16-3^{2}=16-9=7

2)
a) Lorsque le nombre de départ est 8 :
• Choisir un nombre entier positif : 8
• Ajouter 1 : 8+1=9
• Calculer le carré du résultat obtenu 9^{2}=81
• Enlever le carré du nombre de départ. 81-8^{2}=81-64=17
Dans ce cas, l'affirmation 1 est vraie (17 se termine par 7) ainsi que l'affirmation 2 (17 est bien égal au nombre de départ 8 auquel on ajoute le nombre entier qui le suit 9).

Lorsque le nombre de départ est 13 :
• Choisir un nombre entier positif : 13
• Ajouter 1 : 13+1=14
• Calculer le carré du résultat obtenu 14^{2}=196
• Enlever le carré du nombre de départ. 196-13^{2}=196-169=27
Dans ce cas, l'affirmation 1 est vraie (27 se termine par 7) ainsi que l'affirmation 2 (27 est bien égal au nombre de départ 13 auquel on ajoute le nombre entier qui le suit 14).

b) Si on appelle x le nombre de départ :
• Choisir un nombre entier positif : x
• Ajouter 1 : x+1
• Calculer le carré du résultat obtenu (x+1)^{2}
• Enlever le carré du nombre de départ. (x+1)^{2}-x^{2}=(x+1+x)(x+1-x)=2x+1
Lorsque le nombre de départ est x, le résultat obtenu est 2x+1.
Concernant l'affirmation 1, elle est fausse : prenons par exemple 4 comme nombre de départ, on obtient :
2x+1=2\times 4+1=9 qui ne se termine pas par 7.
Concernant l'affirmation 2, lorsqu'on additionne deux nombres consécutifs, le résutat obtenu est :
x+(x+1)=2x+1
ce qui est le résultat obtenu, donc l'affirmation 2 est vraie.

Exercice 3 (6 points)



1) Dans le triangle ABE, I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AE] donc d'après le théorème de la droite des milieux, les droites (IJ) et (BE) sont parallèles.

2) BE est la longueur la plus importante du triangle ABE. Nous avons :
\begin{align*}
&AB^{2}+AE^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100\\
&BE^{2}=10^{2}=100
\end{align*}
Comme AB^{2}+AE^{2}=BE^{2}, le triangle ABE est rectangle en A d'après la réciproque du théorème de Pythagore.

3) Le triangle AEB est rectangle en A, on peut utiliser les formules trigonométriques pour déterminer la mesure de l'angle \widehat{AEB} :
\cos{\widehat{AEB}}=\frac{\text{c\^ot\'e adjacent \`a }\widehat{AEB}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AE}{EB}=\frac{8}{10}=0.8
D'après la calculatrice, cos^{-1}(0.8)\approx 37^{\circ} donc l'angle \widehat{AEB} mesure approximativement 37° (valeur arrondie au degré près).

4)
a) Le triangle IAJ est rectangle en A et inscrit dans le cercle (C), par conséquent [IJ] est un diamètre de ce cercle. On en déduit que le centre du cercle (C) est le milieu du segment [IJ].

b) Nous devons calculer la longueur IJ. D'après la question 1, les droites (IJ) et (BE) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès, nous avons :
\begin{align*}
&\frac{AI}{AB}=\frac{AJ}{AE}=\frac{IJ}{BE}\\
&\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{IJ}{10}
\end{align*}
On en déduit la longueur IJ :
\begin{align*}
&0.5=\frac{IJ}{10}\\
&IJ=0.5\times 10\\
&IJ=5\text{ cm}
\end{align*}
IJ mesure 5 cm.
Par conséquent, le rayon du cercle (C) mesure 2.5 cm.

Exercice 4 (7 points)

Nom du sportif Alix David Gwenn Yassin Zoé
Distance parcourue (en km) 35 42 27 35 42
Durée de la randonnée 2 h 3 h 1 h 30 min 1 h 45 min 1 h 36 min
Vitesse moyenne (en km/h)      17,5                                                                    

1) David a parcouru 42 kilomètres.

2) Pour David, la vitesse moyenne est égale à :
v=\frac{d}{t}=\frac{42}{3}=14\text{ km/h}
Gwenn a mis 1 h 30 min pour effectuer un trajet de 27 km, soit une durée de 1.5 heure. Sa vitesse moyenne est donc égale à :
v=\frac{d}{t}=\frac{27}{1.5}=18\text{ km/h}

3)
A B C D E F
1 Nom du sportif Alix David Gwenn Yassin Zoé
2 Distance parcourue (en km) 35 42 27 35 42
3 Durée de la randonnée 2 3 1.5

4 Vitesse moyenne (en km/h)      17,5                                                                    

a) Transformons 1 h 45 min en heure(s) :
1 \text{ heure }45\text{ minutes}=1+\frac{45}{60}\text{ heure}=1.75\text{ heure}
En E3, Il faut écrire 1.75.

b) Transformons 1 h 36 minutes en heure(s) :
1 \text{ heure }36\text{ minutes}=1+\frac{36}{60}\text{ heure}=1.6\text{ heure}
En F3, il faut écrire 1.6.

c) Comme nous avons la relation suivante :
v=\frac{d}{t}
Il faut saisir la formule suivante en B4 : B2/B3

4) Nous cherchons à connaître la durée de la randonnée :
\begin{align*}
&v=\frac{d}{t}\\
&t=\frac{d}{v}\\
&t=\frac{35}{25}\\
&t=1.4\text{ heure}\\
&t=1\text{ heure}+0.4\times 60\text{ minutes}\\
&t=1\text{ heure }24\text{ minutes}
\end{align*}
Il a mis 1 h 24 min pour effectuer sa randonnée.

Exercice 5 (4 points)


1) ABCDEFGH est un cube donc toutes ses arêtes mesurent 6 cm.
I est le milieu de [EF] et K le milieu de [FG], donc IF = FK = 3 cm.
Les faces d'un cube sont des carrés donc les (IF) est perpendiculaire à (FK).
Par conséquent, le triangle IFK est isocèle rectangle en F :


2) Les triangles FIK, FIJ et et FJK sont semblables ; ils sont tous isocèles (longueur = 3 cm) et rectangles en F, ce qui élimine le schéma 4 (seulement deux angles droits au lieu de trois).
Comme ces trois triangles sont semblables, nous avons nécessairement IJ = IK = JK donc le triangle IJK est équilatéral. Seul le schéma 3 parmi les schémas restants contient un triangle équilatéral, donc le bon patron est le schéma n°3.


Schéma 1

Schéma 2

Schéma 3

Schéma 4

3) Calcul du volume de la pyramide FIJK.
\begin{align*}
V_{FIJK}&= \frac{\text{Aire d'une base}\times \text{hauteur}}{3}\\
&=\frac{\frac{FI\times FK}{2}\times FJ}{3}\\
&=\frac{\frac{3\times 3}{2}\times 3}{3}\\
&=4.5\text{ cm}^{3}
\end{align*}
Le volume de la pyramide est de 4.5 cm3.

Exercice 6 (4 points)

Modèle PRIMA
Version ESSENCE

Consommation moyenne : 6,2 L pour 100 km
Type de moteur : essence
Carburant : SP 95
Prix d'achat : 21 550 €
VERSION DIESEL

Consommation moyenne : 5,2 L pour 100 km
Type de moteur : diesel
Carburant : gazole
Prix d'achat : 23 950€


Estimation du prix des carburants par
M. Durand en 2015
• Prix d’un litre de SP 95 : 1,415€
• Prix d’un litre de gazole : 1,224€

1) Consommation annuelle de carburant en diesel :
22300\times\frac{5.2}{100}=1159.6\text{ litres}
Budget carburant :
1159.6\times 1.224 \approx 1419.35\euro

Version ESSENCE Version DIESEL
Consommation de carburant (en L) 1 383 1 159.6
Budget de carburant (en €) 1 957 1 419.35

2) L'économie annuelle de carburant est égale à :
1957-1419.35=537.65\euro
La différence de prix d'achat est égale à :
23950-21550=2400\euro
Il rentabilisera l'investissement dans le véhicule diesel au bout de :
\frac{2400}{537.65}\approx 4.46 \text{ ann\'ees}
Il faudra environ 4.5 ans pour compenser la différence de prix entre les deux versions.

Exercice 7 (3 points)

1) Surface occupée par les océans :
1-\frac{5}{17}=\frac{12}{17}
L'Océan Pacifique recouvre la moitié de cette superficie, soit :
\frac{12}{17}\times\frac{1}{2}=\frac{6}{17}
L'Océan Pacifique recouvre 6/17 de la superficie totale de la Terre.

2) On peut remplir un tableau de proportionnalité :

Fraction Superficie
\frac{6}{17}
180 000 000
1
x
Superficie de la Terre :
x=\frac{180000000}{\frac{6}{17}}=180000000\times \frac{17}{6}=510000000
La superficie de la Terre est de 510 000 000 km2.
Correction du brevet des collèges Polynésie 21 juin 2016
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