IDENTITES REMARQUABLES Correction des exercices ***

Exercice 1 (Extrait brevet centres étrangers juin 2011)

1) Développement et réduction de A :
\[ \begin{align*} A&=(x-3)^{2}+(x-3)(1-2x) \\ &=x^{2}-6x+9+(x-3)(1-2x) \\ &=x^{2}-6x+9+x-2x^{2}-3+6x \\ &=-x^{2}+x+6 \end{align*} \]
2) Factorisation de A :
\[ \begin{align*} A&=(x-3)^{2}+(x-3)(1-2x) \\ &=(x-3)(x-3)+(x-3)(1-2x)\\ &=(x-3)\left[(x-3)+(1-2x)\right] \\ &=(x-3)(x-3+1-2x) \\ &=(x-3)(-x-2) \end{align*} \]

Exercice 2 (Centres étrangers II juin 2009)

Nous remarquons ici que nous avons une identité remarquable de la forme \(a^{2}+2ab+b^{2}\). En effet :
\(n^{2}-24n+144=n^{2}-2\times n\times 12 + 12^{2} \) avec \(a=n \) et \(b=12\).
Nous pouvons par conséquent factoriser cette identité remarquable sous la forme suivante :
\(n^{2}-24n+144=(n-12)^{2}\)
Que \( n - 12 \) soit négatif ou positif, étant donné qu'on l'élève au carré, cela donnera toujours un nombre positif. Anatole a donc raison, quelle que soit la valeur de \(n\), \(n^{2}-24n+144\) est toujours positif.

Exercice 3 (extraits du brevet Amérique du Nord 2008)

1) Développement et réduction de D :
\[ \begin{align*} D&=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^{2}\\ &=24x^{2}-84x+6x-21-(2x-7)^{2}\\ &=24x^{2}-78x-21-(4x^{2}-28x+49)\\ &=24x^{2}-78x-21-4x^{2}+28x-49\\ &=20x^{2}-50x-70 \end{align*} \]
2) Factorisation de D :
\[ \begin{align*} D&=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)^{2}\\ &=(12x+3)(2x-7)-(2x-7)(2x-7)\\ &=(2x-7)\left[(12x+3)-(2x-7)\right]\\ &=(2x-7)(12x+3-2x+7)\\ &=(2x-7)(10x+10)\\ &=10(2x-7)(x+1) \end{align*} \]
3) Calcul de D pour \( x=2 \).
\[ \begin{align*} D&=20x^{2}-50x-70\\ &=20\times 2^{2}-50\times 2-70\\ &=80-100-70\\ &=-90 \end{align*} \]
Calcul de D pour \(x=-1\)
\[ \begin{align*} D&=20x^{2}-50x-70\\ &=20\times (-1)^{2}-50\times (-1)-70\\ &=20+50-70\\ &=0 \end{align*} \]

Exercice 4 (Centres étrangers juin 2012)

1) Avec le programme A : \((5 + 1)^{2} - 5^{2}= 36 - 25 = 11\)
Avec le programme B : \(2\times 5 + 1 = 11\)
On obtient le même résultat avec le programme A et B.

2) Si on appelle \( x\) le nombre choisi, alors :
Lorsqu'on développe le résultat obtenu avec le programme A :
\[ \begin{align*} (x+1)^{2}-x^{2}&=x^{2}+2x+1-x^{2}\\ &=2x+1 \end{align*} \] On retrouve le résultat obtenu avec le programme B.
Autrement dit, quel que soit le nombre choisi au départ, les programmes A et B donnent exactement le même résultat.

Exercice 5 (Polynésie septembre 2010)

Partie A
1) \(AB = 2x+ 1 = 2\times 3 + 1 = 7\)
AB mesure 7 cm.
\(AF =x+3 = 3 + 3 = 6\)
AF mesure 6 cm.

2) Calcul de la longueur FD :
FD = AD - AF = AB - AF = 7 - 6 = 1
FD mesure 1 cm.
Calcul de l'aire du rectangle FECD :
\(A_{\text{FECD}} = FE\times FD = AB \times FD = 7 \times 1 = 7\)
L'aire du rectangle FECD est de 7 cm².

Partie B
1) Calcul de FD: \[ \begin{align*} FD &= AD - AF \\ &= AB - AF \\ &= 2x+ 1 -(x+ 3) \\ &= 2x+ 1 -x- 3 \\ &=x- 2 \end{align*} \] FD mesure \(x- 2\) cm.

2) Calcul de l'aire du rectangle FECD :
\[ \begin{align*} A_{\text{FECD}}&= FE \times FD \\ &= AB \times FD \\ &= (2x+ 1)(x-2). \end{align*} \]
3) Aire du carré ABCD :
\(A_{\text{ABCD}} = AB \times AD= (2x+ 1)^{2}\)
Aire du rectangle ABEF :
\(A_{\text{ABEF}}= AB \times AF = (2x+ 1)(x+ 3)\)

4) L'aire du rectangle FECD est égale à la différence entre l'aire du carré ABCD et celle du rectangle ABEF. D'après les questions 3 et 4, on obtient : \[ \begin{align*} A_{FECD}&= A_{ABCD}-A_{ABEF}\\ &= (2x+1)^{2}-(2x+ 1)(x+ 3) \end{align*} \] 5) Il s'agit d'une factorisation puisque nous avons un produit de deux facteurs.

Correction des exercices de brevet sur les identités remarquables, le développement et la factorisation pour la troisième (3ème)
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