IDENTITES REMARQUABLES
Correction des exercices **
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Exercice 1
\[
\begin{align*}
&(3x+{\color{red}4})^{2}={\color{red}9 \color{red}x^{\color{red}2}}+24x+16\\
&({\color{red}7 \color{red}x}-3)^{2}={\color{red}4\color{red}9\color{red}x^{\color{red}2}}-42x+\color{red}9\\
&(5x+{\color{red}9})^{2}={\color{red}2\color{red}5\color{red}x^{\color{red}2}}+90x+\color{red}8\color{red}1\\
&\left(\frac{x}{4}+\color{red} 2 \right)^{2}=\frac{\color{red} x^{\color{red}2}}{\color{red} 1\color{red}6}+x+\color{red}4
\end{align*}
\]
Exercice 2
\[
\begin{align*}
A&=3(x+2)\\
&=3x+6
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=5(2x+1)\\
&=10x+5
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
C&=2(3+2x)\\
&=4x+6
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=4(x-3)\\
&=4x-12
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
E&=6(5x-7)\\
&=30x-42
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
F&=3(6-x)\\
&=-3x+18
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
G&=-2(3x-7)\\
&=-6x+14
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
H&=-6(x+1)\\
&=-6x-6
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
I&=-x(2x-1)\\
&=-2x^{2}+x
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
J&=4x(4-5x)\\
&=16x-20x^{2}\\
&=-20x^{2}+16x
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
K&=-4\left(2x+\frac{3}{2}\right)\\
&=-8x-4\times\frac{3}{2}\\
&=-8x-6
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
L&=6\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{12}\right)\\
&=6\times \frac{1}{3}x+6\times \frac{1}{12}\\
&=2x+\frac{1}{2}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
M&=-5\left(-\frac{3}{15}-\frac{7}{10}x\right)\\
&=(-5)\times (-1)\times \left(\frac{1}{5}+\frac{7}{10}x\right)\\
&=5\left(\frac{1}{5}+\frac{7}{10}x\right)\\
&=5\times \frac{1}{5}+5\times \frac{7}{10}x\\
&=1+\frac{7}{2}x\\
&=\frac{7}{2}x+1
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
N&=3x\left(3x-\frac{2}{9}\right)\\
&=9x^{2}-3x\times \frac{2}{9}\\
&=9x^{2}-\frac{2}{3}x
\end{align*}
\]
Exercice 3
\[
\begin{align*}
A&=(x+2)(x+4)\\
&=x^{2}+4x+2x+8\\
&=x^{2}+6x+8
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=(x+5)(y+1)\\
&=xy+x+5y+5
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
C&=(2x+1)(3x+2)\\
&=6x^{2}+4x+3x+2\\
&=6x^{2}+7x+2
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=(5x-3)(x+4)\\
&=5x^{2}+20x-3x-12\\
&=5x^{2}+17x-12\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
E&=(-2x+1)(3x-4)\\
&=-6x^{2}+8x+3x-4\\
&=-6x^{2}+11x-4\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
F&=(7x-1)(x-4)\\
&=7x^{2}-28x-x+4\\
&=7x^{2}-29x+4\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
G&=(-3x-5)(-2x-7)\\
&=(-1)\times (3x+5)\times (-1)\times (2x+7)\\
&=(3x+5)(2x+7)\\
&=6x^{2}+21x+10x+35\\
&=6x^{2}+31x+35
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
H&=(-2x+1)(x+4)\\
&=-2x^{2}-8x+x+4\\
&=-2x^{2}-7x+4\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
I&=\left(\frac{1}{3}x+4\right)\left(\frac{9}{2}x-6\right)\\
&=\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x\times 6+4\times \frac{9}{2}x-24\\
&=\frac{3}{2}x^{2}-2x+18x-24\\
&=\frac{3}{2}x^{2}+16x-24\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
J&=(11x-8)(4x+7)\\
&=44x^{2}+77x-32x-56\\
&=44x^{2}+45x-56\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
K&=\left(x-\frac{5}{7}\right)\left(7x+\frac{4}{7}\right)\\
&=7x^{2}+\frac{4}{7}x-\frac{5}{7}\times 7x-\frac{5}{7}\times \frac{4}{7}\\
&=7x^{2}+\frac{4}{7}x-5x-\frac{20}{49}\\
&=7x^{2}+\frac{4}{7}x-\frac{35}{7}x-\frac{20}{49}\\
&=7x^{2}-\frac{31}{7}x-\frac{20}{49}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
L&=(x-4)(-x-5)\\
&=-x^{2}-5x+4x+20\\
&=-x^{2}-x+20
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
M&=(-2x-3)(-3x-4)\\
&=(-1)\times (2x+3)\times (-1) \times (3x+4) \\
&=(2x+3)(3x+4)\\
&=6x^{2}+8x+9x+12\\
&=6x^{2}+17x+12
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
N&=(-x-9)(x+1)\\
&=-x^{2}-x-9x-9 \\
&=-x^{2}-10x-9
\end{align*}
\]
Exercice 4
\[
\begin{align*}
A&=(x+1)^{2}\\
&=x^{2}+2x+1
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=(3x+5)^{2}\\
&=9x^{2}+30x+25
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
C&=(x-6)^{2}\\
&=x^{2}-12x+36
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=(x+4)(x-4)\\
&=x^{2}-16
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
E&=(2x-3)^{2}\\
&=4x^{2}-12x+9
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
F&=(5x-7)^{2}\\
&=25x^{2}-70x+49
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
G&=(x+y)^{2}\\
&=x^{2}+2xy+y^{2}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
H&=\left(2x+\frac{3}{4}\right)^{2}\\
&=4x^{2}+2\times 2x\times \frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\\
&=4x^{2}+3x+\frac{9}{16}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
I&=(8-a)^{2}\\
&=64-16a+a^{2}\\
&=a^{2}-16a+64
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
J&=\left(\frac{1}{10}z-2\right)^{2}\\
&=\left(\frac{1}{10}z\right)^{2}-2\times \frac{1}{10}z\times 2+2^{2}\\
&=\frac{1}{100}z^{2}-\frac{2}{5}z+4
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
K&=(3u-1)(3u+1)\\
&=9u^{2}-1
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
L&=(12x+3)^{2}\\
&=144x^{2}+72x+9
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
M&=(2+4x)(4x-2)\\
&=(4x+2)(4x-2)\\
&=16x^{2}-4
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
N&=\left(3-\frac{2}{3}t\right)^{2}\\
&=9-2\times 3\times \frac{2}{3}t+\left(\frac{2}{3}t\right)^{2}\\
&=9-4t+\frac{4}{9}t^{2}\\
&=\frac{4}{9}t^{2}-4t+9
\end{align*}
\]
Exercice 5
\[
\begin{align*}
A&=4x+16\\
&=4(x+4)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=3x^{2}+9x\\
&=3x(x+3)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
C&=8x-24\\
&=8(x-3)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}\\
&=\frac{4}{3}(x-4)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
E&=(x-3)(x+2)+(x-3)\\
&=\boxed{(x-3)}(x+2)+\boxed{(x-3)}\times 1\\
&=(x-3)\left[(x+2)+1\right]\\
&=(x-3)(x+3)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
F&=(2x+7)(3x-4)-(3x-4)\\
&=(2x+7)\boxed{(3x-4)}-\boxed{(3x-4)}\times 1 \\
&=(3x-4)(2x+7-1)\\
&=(3x-4)(2x+6)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
G&=(3x+1)(x-4)+(1+3x)(5-2x)\\
&=\boxed{(3x+1)}(x-4)+\boxed{(3x+1)}(5-2x) \\
&=(3x+1)\left[(x-4)+(5-2x)\right]\\
&=(3x+1)(x-4+5-2x)\\
&=(3x+1)(-x+1)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
H&=x^{2}-12x+36\\
&=x^{2}-2\times x\times 6+6^{2} \\
&=(x-6)^{2}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
I&=121x^{2}-64\\
&=(11x)^{2}-8^{2} \\
&=(11x-8)(11x+8)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
J&=(4x+1)^{2}+(4x+1)(x-5)\\
&=\boxed{(4x+1)}(4x+1)+\boxed{(4x+1)}(x-5) \\
&=(4x+1)\left[(4x+1)+(x-5)\right]\\
&=(4x+1)(4x+1+x-5)\\
&=(4x+1)(5x-4)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
K&=(2x-1)(3x+2)-(2x-1)^{2}\\
&=\boxed{(2x-1)}(3x+2)-\boxed{(2x-1)}(2x-1) \\
&=(2x-1)\left[(3x+2)-(2x-1)\right]\\
&=(2x-1)(3x+2-2x+1)\\
&=(2x-1)(x+3)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
L&=(2x+4)(x+5)+6x+12\\
&=(2x+4)(x+5)+3(2x+4)\\
&=\boxed{(2x+4)}(x+5)+3\boxed{(2x+4)} \\
&=(2x+4)\left[(x+5)+3\right]\\
&=(2x+4)(x+8)\\
&=2(x+2)(x+8)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
M&=\boxed{(2x-9)}(x+2)-\boxed{(2x-9)}(4x+1) \\
&=(2x-9)\left[(x+2)-(4x+1)\right]\\
&=(2x-9)(x+2-4x-1)\\
&=(2x-9)(-3x+1)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
N&=25x^{2}+40x+16\\
&=(5x)^{2}+2\times 5x\times 4 + 4^{2}\\
&=(5x+4)^{2}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
O&=\frac{121}{9}x^{2}-\frac{144}{25}\\
&=\left(\frac{11}{3}x\right)^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}\\
&=\left(\frac{11}{3}x-\frac{12}{5}\right)\left(\frac{11}{3}x+\frac{12}{5}\right)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
P&=(x+9)(4x-5)+x^{2}+18x+81\\
&=(x+9)(4x-5)+x^{2}+2\times x\times 9+9^{2}\\
&=(x+9)(4x-5)+(x+9)^{2}\\
&=\boxed{(x+9)}(4x-5)+\boxed{(x+9)}(x+9) \\
&=(x+9)\left[(4x-5)+(x+9)\right]\\
&=(x+9)(4x-5+x+9)\\
&=(x+9)(5x+4)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
Q&=49x^{2}-\frac{1}{4}\\
&=(7x)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\
&=\left(7x-\frac{1}{2}\right)\left(7x+\frac{1}{2}\right)\\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
R&=(2x-7)^{2}-36\\
&=(2x-7)^{2}-6^{2}\\
&=(2x-7-6)(2x-7+6)\\
&=(2x-13)(2x-1)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
S&=(3x+2)(x-1)-(2+3x)(5-2x)\\
&=\boxed{(3x+2)}(x-1)-\boxed{(3x+2)}(5-2x) \\
&=(3x+2)\left[(x-1)-(5-2x)\right]\\
&=(3x+2)(x-1-5+2x)\\
&=(3x+2)(3x-6)\\
&=3(3x+2)(x-2)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
T&=(4x-1)^{2}-(2x+4)^{2}\\
&=\left[(4x-1)-(2x+4)\right]\left[(4x-1)+(2x+4)\right]\\
&=\left[4x-1-2x-4\right]\left[4x-1+2x+4\right]\\
&=(2x-5)(6x+3)\\
&=3(2x-5)(2x+1)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
U&=x^{2}+x+0.25\\
&=x^{2}+x+\frac{1}{4}\\
&=x^{2}+2\times x\times \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\
&=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
V&=\boxed{\left(5x+\frac{1}{2}\right)}(3-x)-\boxed{\left(5x+\frac{1}{2}\right)}(2x+3)\\
&=\left(5x+\frac{1}{2}\right)\left[(3-x)-(2x+3)\right]\\
&=\left(5x+\frac{1}{2}\right)\left[3-x-2x-3\right]\\
&=-3x\left(5x+\frac{1}{2}\right)
\end{align*}
\]
Exercice 6
On utilise dans cet exercice les identités
remarquables pour calculer mentalement ces expressions.
\[
\begin{align*}
41^{2}&=(40+1)^{2}\\
&=40^{2}+2\times 40\times 1+1^{2}\\
&=1600+80+1\\
&=1681
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
29^{2}&=(30-1)^{2}\\
&=30^{2}-2\times 30\times 1+1^{2}\\
&=900-60+1\\
&=841
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
28\times 32&=(30-2)(30+2)\\
&=30^{2}-2^{2}\\
&=900-4\\
&=896
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
101^{2}&=(100+1)^{2}\\
&=100^{2}+2\times 100 \times 1+1^{2}\\
&=10000+200+1\\
&=10201
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
99\times 101&=(100-1)(100+1)\\
&=100^{2}-1^{2}\\
&=10000-1\\
&=9999
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
(-22)^{2}&=22^{2}\\
&=(20+2)^{2}\\
&=20^{2}+2\times 20\times 2+2^{2}\\
&=400+80+4\\
&=484
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
(-18)^{2}&=18^{2}\\
&=(20-2)^{2}\\
&=20^{2}-2\times 20\times 2+2^{2}\\
&=400-80+4\\
&=324
\end{align*}
\]
Exercice 7
Soit \(x\) un
nombre et \(x+1\) le nombre consécutif.
\[
\begin{align*}
(x+1)^{2}-x^{2}&=(x+1-x)(x+1+x)\\
&=1\times(2x+1)\\
&=2x+1
\end{align*}
\]
Si \(x\) est un
nombre, alors \(2x\) est
nécessairement pair donc \(2x+1\)
est impair.
Par conséquent, la différence des carrés de deux
nombres consécutifs est un nombre impair.
Exercice 8
Factorisation des expressions :
\[
\begin{align*}
A&=(3x-2)(2x+6)+(2x-1)(6+2x)\\
&=(3x-2)\boxed{(2x+6)}+(2x-1)\boxed{(2x+6)}\\
&=(2x+6)\left[(3x-2)+(2x-1)\right]\\
&=(2x+6)(3x-2+2x-1)\\
&=(2x+6)(5x-3)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=(2x-5)^{2}+(2x-5)(x+3)\\
&=\boxed{(2x-5)}(2x-5)+\boxed{(2x-5)}(x+3)\\
&=(2x-5)\left[(2x-5)+(x+3)\right]\\
&=(2x-5)(2x-5+x+3)\\
&=(2x-5)(3x-2)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
C&=(x+3)^{2}-(2x-5)^{2}\\
&=\left[(x+3)-(2x-5)\right]\left[(x+3)+(2x-5)\right]\\
&=(x+3-2x+5)(x+3+2x-5)\\
&=(-x+8)(3x-2)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=(4x-7)^{2}-(4x-7)(x+9)\\
&=\boxed{(4x-7)}(4x-7)-\boxed{(4x-7)}(x+9)\\
&=(4x-7)\left[(4x-7)-(x+9)\right]\\
&=(4x-7)(4x-7-x-9)\\
&=(4x-7)(3x-16)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
E&=(5x-4)^{2}-81\\
&=(5x-4)^{2}-9^{2}\\
&=(5x-4-9)(5x-4+9)\\
&=(5x-13)(5x+5)
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
F&=(5x-1)(2x+1)-(5x-1)(3x+5)\\
&=\boxed{(5x-1)}(2x+1)-\boxed{(5x-1)}(3x+5)\\
&=(5x-1)\left[(2x+1)-(3x+5)\right]\\
&=(5x-1)(2x+1-3x-5)\\
&=(5x-1)(-x-4)
\end{align*}
\]
Développement des expressions :
\[
\begin{align*}
A&=(3x-2)(2x+6)+(2x-1)(6+2x)\\
&=6x^{2}+18x-4x-12+12x+4x^{2}-6-2x\\
&=10x^{2}+24x-18
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
B&=(2x-5)^{2}+(2x-5)(x+3)\\
&=4x^{2}-20x+25+2x^{2}+6x-5x-15\\
&=6x^{2}-19x+10
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
C&=(x+3)^{2}-(2x-5)^{2}\\
&=x^{2}+6x+9-(4x^{2}-20x+25)\\
&=x^{2}+6x+9-4x^{2}+20x-25\\
&=-3x^{2}+26x-16
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
D&=(4x-7)^{2}-(4x-7)(x+9)\\
&=16x^{2}-56x+49-(4x^{2}+36x-7x-63)\\
&=16x^{2}-56x+49-(4x^{2}+29x-63)\\
&=16x^{2}-56x+49-4x^{2}-29x+63\\
&=12x^{2}-85x+112
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
E&=(5x-4)^{2}-81\\
&=25x^{2}-40x+16-81\\
&=25x^{2}-40x-65
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
F&=(5x-1)(2x+1)-(5x-1)(3x+5)\\
&=10x^{2}+5x-2x-1-(15x^{2}+25x-3x-5)\\
&=10x^{2}+3x-1-(15x^{2}+22x-5)\\
&=10x^{2}+3x-1-15x^{2}-22x+5\\
&=-5x^{2}-19x+4
\end{align*}
\]
Correction des exercices d'application sur les identités remarquables, le développement et la factorisation pour la troisième (3ème)
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