IDENTITES REMARQUABLES
Correction des exercices **

Exercice 1

\begin{align*} &(3x+{\color{red}4})^{2}={\color{red}9x^{2}}+24x+16\\ &({\color{red}7x}-3)^{2}={\color{red}49x^{2}}-42x+{\color{red}9}\\ &(5x+{\color{red}9})^{2}={\color{red}25x^{2}}+90x+{\color{red}81}\\ &\left(\frac{x}{4}+{\color{red}2}\right)^{2}={\color{red}\frac{x^{2}}{16}}+x+{\color{red}4} \end{align*}

Exercice 2

\begin{align*} A&=3(x+2)\\ &=3x+6 \end{align*}

\begin{align*} B&=5(2x+1)\\ &=10x+5 \end{align*}

\begin{align*} C&=2(3+2x)\\ &=4x+6 \end{align*}

\begin{align*} D&=4(x-3)\\ &=4x-12 \end{align*}

\begin{align*} E&=6(5x-7)\\ &=30x-42 \end{align*}

\begin{align*} F&=3(6-x)\\ &=-3x+18 \end{align*}

\begin{align*} G&=-2(3x-7)\\ &=-6x+14 \end{align*}

\begin{align*} H&=-6(x+1)\\ &=-6x-6 \end{align*}

\begin{align*} I&=-x(2x-1)\\ &=-2x^{2}+x \end{align*}

\begin{align*} J&=4x(4-5x)\\ &=16x-20x^{2}\\ &=-20x^{2}+16x \end{align*}

\begin{align*} K&=-4\left(2x+\frac{3}{2}\right)\\ &=-8x-4\times\frac{3}{2}\\ &=-8x-6 \end{align*}

\begin{align*} L&=6\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{12}\right)\\ &=6\times \frac{1}{3}x+6\times \frac{1}{12}\\ &=2x+\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} M&=-5\left(-\frac{3}{15}-\frac{7}{10}x\right)\\ &=(-5)\times (-1)\times \left(\frac{1}{5}+\frac{7}{10}x\right)\\ &=5\left(\frac{1}{5}+\frac{7}{10}x\right)\\ &=5\times \frac{1}{5}+5\times \frac{7}{10}x\\ &=1+\frac{7}{2}x\\ &=\frac{7}{2}x+1 \end{align*}

\begin{align*} N&=3x\left(3x-\frac{2}{9}\right)\\ &=9x^{2}-3x\times \frac{2}{9}\\ &=9x^{2}-\frac{2}{3}x \end{align*}

Exercice 3

\begin{align*} A&=(x+2)(x+4)\\ &=x^{2}+4x+2x+8\\ &=x^{2}+6x+8 \end{align*}

\begin{align*} B&=(x+5)(y+1)\\ &=xy+x+5y+5 \end{align*}

\begin{align*} C&=(2x+1)(3x+2)\\ &=6x^{2}+4x+3x+2\\ &=6x^{2}+7x+2 \end{align*}

\begin{align*} D&=(5x-3)(x+4)\\ &=5x^{2}+20x-3x-12\\ &=5x^{2}+17x-12\\ \end{align*}

\begin{align*} E&=(-2x+1)(3x-4)\\ &=-6x^{2}+8x+3x-4\\ &=-6x^{2}+11x-4\\ \end{align*}

\begin{align*} F&=(7x-1)(x-4)\\ &=7x^{2}-28x-x+4\\ &=7x^{2}-29x+4\\ \end{align*}

\begin{align*} G&=(-3x-5)(-2x-7)\\ &=(-1)\times (3x+5)\times (-1)\times (2x+7)\\ &=(3x+5)(2x+7)\\ &=6x^{2}+21x+10x+35\\ &=6x^{2}+31x+35 \end{align*}

\begin{align*} H&=(-2x+1)(x+4)\\ &=-2x^{2}-8x+x+4\\ &=-2x^{2}-7x+4\\ \end{align*}

\begin{align*} I&=\left(\frac{1}{3}x+4\right)\left(\frac{9}{2}x-6\right)\\ &=\frac{1}{3}\times \frac{9}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x\times 6+4\times \frac{9}{2}x-24\\ &=\frac{3}{2}x^{2}-2x+18x-24\\ &=\frac{3}{2}x^{2}+16x-24\\ \end{align*}

\begin{align*} J&=(11x-8)(4x+7)\\ &=44x^{2}+77x-32x-56\\ &=44x^{2}+45x-56\\ \end{align*}

\begin{align*} K&=\left(x-\frac{5}{7}\right)\left(7x+\frac{4}{7}\right)\\ &=7x^{2}+\frac{4}{7}x-\frac{5}{7}\times 7x-\frac{5}{7}\times \frac{4}{7}\\ &=7x^{2}+\frac{4}{7}x-5x-\frac{20}{49}\\ &=7x^{2}+\frac{4}{7}x-\frac{35}{7}x-\frac{20}{49}\\ &=7x^{2}-\frac{31}{7}x-\frac{20}{49} \end{align*}

\begin{align*} L&=(x-4)(-x-5)\\ &=-x^{2}-5x+4x+20\\ &=-x^{2}-x+20 \end{align*}

\begin{align*} M&=(-2x-3)(-3x-4)\\ &=(-1)\times (2x+3)\times (-1) \times (3x+4) \\ &=(2x+3)(3x+4)\\ &=6x^{2}+8x+9x+12\\ &=6x^{2}+17x+12 \end{align*}

\begin{align*} N&=(-x-9)(x+1)\\ &=-x^{2}-x-9x-9 \\ &=-x^{2}-10x-9 \end{align*}

Exercice 4

\begin{align*} A&=(x+1)^{2}\\ &=x^{2}+2x+1 \end{align*}

\begin{align*} B&=(3x+5)^{2}\\ &=9x^{2}+30x+25 \end{align*}

\begin{align*} C&=(x-6)^{2}\\ &=x^{2}-12x+36 \end{align*}

\begin{align*} D&=(x+4)(x-4)\\ &=x^{2}-16 \end{align*}

\begin{align*} E&=(2x-3)^{2}\\ &=4x^{2}-12x+9 \end{align*}

\begin{align*} F&=(5x-7)^{2}\\ &=25x^{2}-70x+49 \end{align*}

\begin{align*} G&=(x+y)^{2}\\ &=x^{2}+2xy+y^{2} \end{align*}

\begin{align*} H&=\left(2x+\frac{3}{4}\right)^{2}\\ &=4x^{2}+2\times 2x\times \frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\\ &=4x^{2}+3x+\frac{9}{16} \end{align*}

\begin{align*} I&=(8-a)^{2}\\ &=64-16a+a^{2}\\ &=a^{2}-16a+64 \end{align*}

\begin{align*} J&=\left(\frac{1}{10}z-2\right)^{2}\\ &=\left(\frac{1}{10}z\right)^{2}-2\times \frac{1}{10}z\times 2+2^{2}\\ &=\frac{1}{100}z^{2}-\frac{2}{5}z+4 \end{align*}

\begin{align*} K&=(3u-1)(3u+1)\\ &=9u^{2}-1 \end{align*}

\begin{align*} L&=(12x+3)^{2}\\ &=144x^{2}+72x+9 \end{align*}

\begin{align*} M&=(2+4x)(4x-2)\\ &=(4x+2)(4x-2)\\ &=16x^{2}-4 \end{align*}

\begin{align*} N&=\left(3-\frac{2}{3}t\right)^{2}\\ &=9-2\times 3\times \frac{2}{3}t+\left(\frac{2}{3}t\right)^{2}\\ &=9-4t+\frac{4}{9}t^{2}\\ &=\frac{4}{9}t^{2}-4t+9 \end{align*}

Exercice 5

\begin{align*} A&=4x+16\\ &=4(x+4) \end{align*}

\begin{align*} B&=3x^{2}+9x\\ &=3x(x+3) \end{align*}

\begin{align*} C&=8x-24\\ &=8(x-3) \end{align*}

\begin{align*} D&=\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}\\ &=\frac{4}{3}(x-4) \end{align*}

\begin{align*} E&=(x-3)(x+2)+(x-3)\\ &=\boxed{(x-3)}(x+2)+\boxed{(x-3)}\times 1\\ &=(x-3)\left[(x+2)+1\right]\\ &=(x-3)(x+3) \end{align*}

\begin{align*} F&=(2x+7)(3x-4)-(3x-4)\\ &=(2x+7)\boxed{(3x-4)}-\boxed{(3x-4)}\times 1 \\ &=(3x-4)(2x+7-1)\\ &=(3x-4)(2x+6) \end{align*}

\begin{align*} G&=(3x+1)(x-4)+(1+3x)(5-2x)\\ &=\boxed{(3x+1)}(x-4)+\boxed{(3x+1)}(5-2x) \\ &=(3x+1)\left[(x-4)+(5-2x)\right]\\ &=(3x+1)(x-4+5-2x)\\ &=(3x+1)(-x+1) \end{align*}

\begin{align*} H&=x^{2}-12x+36\\ &=x^{2}-2\times x\times 6+6^{2} \\ &=(x-6)^{2} \end{align*}

\begin{align*} I&=121x^{2}-64\\ &=(11x)^{2}-8^{2} \\ &=(11x-8)(11x+8) \end{align*}

\begin{align*} J&=(4x+1)^{2}+(4x+1)(x-5)\\ &=\boxed{(4x+1)}(4x+1)+\boxed{(4x+1)}(x-5) \\ &=(4x+1)\left[(4x+1)+(x-5)\right]\\ &=(4x+1)(4x+1+x-5)\\ &=(4x+1)(5x-4) \end{align*}

\begin{align*} K&=(2x-1)(3x+2)-(2x-1)^{2}\\ &=\boxed{(2x-1)}(3x+2)-\boxed{(2x-1)}(2x-1) \\ &=(2x-1)\left[(3x+2)-(2x-1)\right]\\ &=(2x-1)(3x+2-2x+1)\\ &=(2x-1)(x+3) \end{align*}

\begin{align*} L&=(2x+4)(x+5)+6x+12\\ &=(2x+4)(x+5)+3(2x+4)\\ &=\boxed{(2x+4)}(x+5)+3\boxed{(2x+4)} \\ &=(2x+4)\left[(x+5)+3\right]\\ &=(2x+4)(x+8)\\ &=2(x+2)(x+8) \end{align*}

\begin{align*} M&=\boxed{(2x-9)}(x+2)-\boxed{(2x-9)}(4x+1) \\ &=(2x-9)\left[(x+2)-(4x+1)\right]\\ &=(2x-9)(x+2-4x-1)\\ &=(2x-9)(-3x+1) \end{align*}

\begin{align*} N&=25x^{2}+40x+16\\ &=(5x)^{2}+2\times 5x\times 4 + 4^{2}\\ &=(5x+4)^{2} \end{align*}

\begin{align*} O&=\frac{121}{9}x^{2}-\frac{144}{25}\\ &=\left(\frac{11}{3}x\right)^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}\\ &=\left(\frac{11}{3}x-\frac{12}{5}\right)\left(\frac{11}{3}x+\frac{12}{5}\right) \end{align*}

\begin{align*} P&=(x+9)(4x-5)+x^{2}+18x+81\\ &=(x+9)(4x-5)+x^{2}+2\times x\times 9+9^{2}\\ &=(x+9)(4x-5)+(x+9)^{2}\\ &=\boxed{(x+9)}(4x-5)+\boxed{(x+9)}(x+9) \\ &=(x+9)\left[(4x-5)+(x+9)\right]\\ &=(x+9)(4x-5+x+9)\\ &=(x+9)(5x+4) \end{align*}

\begin{align*} Q&=49x^{2}-\frac{1}{4}\\ &=(7x)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\ &=\left(7x-\frac{1}{2}\right)\left(7x+\frac{1}{2}\right)\\ \end{align*}

\begin{align*} R&=(2x-7)^{2}-36\\ &=(2x-7)^{2}-6^{2}\\ &=(2x-7-6)(2x-7+6)\\ &=(2x-13)(2x-1) \end{align*}

\begin{align*} S&=(3x+2)(x-1)-(2+3x)(5-2x)\\ &=\boxed{(3x+2)}(x-1)-\boxed{(3x+2)}(5-2x) \\ &=(3x+2)\left[(x-1)-(5-2x)\right]\\ &=(3x+2)(x-1-5+2x)\\ &=(3x+2)(3x-6)\\ &=3(3x+2)(x-2) \end{align*}

\begin{align*} T&=(4x-1)^{2}-(2x+4)^{2}\\ &=\left[(4x-1)-(2x+4)\right]\left[(4x-1)+(2x+4)\right]\\ &=\left[4x-1-2x-4\right]\left[4x-1+2x+4\right]\\ &=(2x-5)(6x+3)\\ &=3(2x-5)(2x+1) \end{align*}

\begin{align*} U&=x^{2}+x+0.25\\ &=x^{2}+x+\frac{1}{4}\\ &=x^{2}+2\times x\times \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\\ &=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2} \end{align*}

\begin{align*} V&=\boxed{\left(5x+\frac{1}{2}\right)}(3-x)-\boxed{\left(5x+\frac{1}{2}\right)}(2x+3)\\ &=\left(5x+\frac{1}{2}\right)\left[(3-x)-(2x+3)\right]\\ &=\left(5x+\frac{1}{2}\right)\left[3-x-2x-3\right]\\ &=-3x\left(5x+\frac{1}{2}\right) \end{align*}

Exercice 6

On utilise dans cet exercice les identités remarquables pour calculer mentalement ces expressions.
\begin{align*} 41^{2}&=(40+1)^{2}\\ &=40^{2}+2\times 40\times 1+1^{2}\\ &=1600+80+1\\ &=1681 \end{align*}

\begin{align*} 29^{2}&=(30-1)^{2}\\ &=30^{2}-2\times 30\times 1+1^{2}\\ &=900-60+1\\ &=841 \end{align*}

\begin{align*} 28\times 32&=(30-2)(30+2)\\ &=30^{2}-2^{2}\\ &=900-4\\ &=896 \end{align*}

\begin{align*} 101^{2}&=(100+1)^{2}\\ &=100^{2}+2\times 100 \times 1+1^{2}\\ &=10000+200+1\\ &=10201 \end{align*}

\begin{align*} 99\times 101&=(100-1)(100+1)\\ &=100^{2}-1^{2}\\ &=10000-1\\ &=9999 \end{align*}

\begin{align*} (-22)^{2}&=22^{2}\\ &=(20+2)^{2}\\ &=20^{2}+2\times 20\times 2+2^{2}\\ &=400+80+4\\ &=484 \end{align*}

\begin{align*} (-18)^{2}&=18^{2}\\ &=(20-2)^{2}\\ &=20^{2}-2\times 20\times 2+2^{2}\\ &=400-80+4\\ &=324 \end{align*}

Exercice 7

Soit x un nombre et x+1 le nombre consécutif.
\begin{align*} (x+1)^{2}-x^{2}&=(x+1-x)(x+1+x)\\ &=1\times(2x+1)\\ &=2x+1 \end{align*}
Si x est un nombre, alors 2x est nécessairement pair donc 2x+1 est impair.
Par conséquent, la différence des carrés de deux nombres consécutifs est un nombre impair.

Exercice 8

Factorisation des expressions :
\begin{align*} A&=(3x-2)(2x+6)+(2x-1)(6+2x)\\ &=(3x-2)\boxed{(2x+6)}+(2x-1)\boxed{(2x+6)}\\ &=(2x+6)\left[(3x-2)+(2x-1)\right]\\ &=(2x+6)(3x-2+2x-1)\\ &=(2x+6)(5x-3) \end{align*}

\begin{align*} B&=(2x-5)^{2}+(2x-5)(x+3)\\ &=\boxed{(2x-5)}(2x-5)+\boxed{(2x-5)}(x+3)\\ &=(2x-5)\left[(2x-5)+(x+3)\right]\\ &=(2x-5)(2x-5+x+3)\\ &=(2x-5)(3x-2) \end{align*}

\begin{align*} C&=(x+3)^{2}-(2x-5)^{2}\\ &=\left[(x+3)-(2x-5)\right]\left[(x+3)+(2x-5)\right]\\ &=(x+3-2x+5)(x+3+2x-5)\\ &=(-x+8)(3x-2) \end{align*}

\begin{align*} D&=(4x-7)^{2}-(4x-7)(x+9)\\ &=\boxed{(4x-7)}(4x-7)-\boxed{(4x-7)}(x+9)\\ &=(4x-7)\left[(4x-7)-(x+9)\right]\\ &=(4x-7)(4x-7-x-9)\\ &=(4x-7)(3x-16) \end{align*}

\begin{align*} E&=(5x-4)^{2}-81\\ &=(5x-4)^{2}-9^{2}\\ &=(5x-4-9)(5x-4+9)\\ &=(5x-13)(5x+5) \end{align*}

\begin{align*} F&=(5x-1)(2x+1)-(5x-1)(3x+5)\\ &=\boxed{(5x-1)}(2x+1)-\boxed{(5x-1)}(3x+5)\\ &=(5x-1)\left[(2x+1)-(3x+5)\right]\\ &=(5x-1)(2x+1-3x-5)\\ &=(5x-1)(-x-4) \end{align*}

Développement des expressions :
\begin{align*} A&=(3x-2)(2x+6)+(2x-1)(6+2x)\\ &=6x^{2}+18x-4x-12+12x+4x^{2}-6-2x\\ &=10x^{2}+24x-18 \end{align*}

\begin{align*} B&=(2x-5)^{2}+(2x-5)(x+3)\\ &=4x^{2}-20x+25+2x^{2}+6x-5x-15\\ &=6x^{2}-19x+10 \end{align*}

\begin{align*} C&=(x+3)^{2}-(2x-5)^{2}\\ &=x^{2}+6x+9-(4x^{2}-20x+25)\\ &=x^{2}+6x+9-4x^{2}+20x-25\\ &=-3x^{2}+26x-16 \end{align*}

\begin{align*} D&=(4x-7)^{2}-(4x-7)(x+9)\\ &=16x^{2}-56x+49-(4x^{2}+36x-7x-63)\\ &=16x^{2}-56x+49-(4x^{2}+29x-63)\\ &=16x^{2}-56x+49-4x^{2}-29x+63\\ &=12x^{2}-85x+112 \end{align*}

\begin{align*} E&=(5x-4)^{2}-81\\ &=25x^{2}-40x+16-81\\ &=25x^{2}-40x-65 \end{align*}

\begin{align*} F&=(5x-1)(2x+1)-(5x-1)(3x+5)\\ &=10x^{2}+5x-2x-1-(15x^{2}+25x-3x-5)\\ &=10x^{2}+3x-1-(15x^{2}+22x-5)\\ &=10x^{2}+3x-1-15x^{2}-22x+5\\ &=-5x^{2}-19x+4 \end{align*}

Correction des exercices d'application sur les identités remarquables, le développement et la factorisation pour la troisième (3ème)
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