IDENTITES REMARQUABLES
Correction des exercices *

Exercice 1

\begin{align*} A&=(x+6)^{2}\\ &=x^{2}+2\times x\times 6+6^{2}\\ &=x^{2}+12x+36 \end{align*}

\begin{align*} B&=(3x+1)^{2}\\ &=(3x)^{2}+2\times 3x\times 1+1^{2}\\ &=9x^{2}+6x+1 \end{align*}

\begin{align*} C&=(2x+2)^{2}\\ &=(2x)^{2}+2\times 2x\times 2+2^{2}\\ &=4x^{2}+8x+4 \end{align*}

\begin{align*} D&=\left(6x+\frac{5}{6}\right)^{2}\\ &=(6x)^{2}+2\times 6x\times \frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\\ &=36x^{2}+10x+\frac{25}{36} \end{align*}

Exercice 2

\begin{align*} A&=(x-7)^{2}\\ &=x^{2}-2\times x\times 7+7^{2}\\ &=x^{2}-14x+49 \end{align*}

\begin{align*} B&=\left(5x-\frac{2}{5}\right)^{2}\\ &=(5x)^{2}-2\times 5x\times \frac{2}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}\\ &=25x^{2}-4x+\frac{4}{25} \end{align*}

\begin{align*} C&=(8x-1)^{2}\\ &=(8x)^{2}-2\times 8x\times 1+1^{2}\\ &=64x^{2}-16x+1 \end{align*}

\begin{align*} D&=(3x-4)^{2}\\ &=(3x)^{2}-2\times 3x\times 4+4^{2}\\ &=9x^{2}-24x+16 \end{align*}

Exercice 3

\begin{align*} A&=(x+5)(x-5)\\ &=x^{2}-5^{2}\\ &=x^{2}-25 \end{align*}

\begin{align*} B&=\left(3x+\frac{2}{3}\right)\left(3x-\frac{2}{3}\right)\\ &=(3x)^{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\\ &=9x^{2}-\frac{4}{9} \end{align*}

\begin{align*} C&=(2x-6)(2x+6)\\ &=(2x)^{2}-6^{2}\\ &=4x^{2}-36 \end{align*}

\begin{align*} D&=(-2x+3)(-2x-3)\\ &=(-2x)^{2}-3^{2}\\ &=4x^{2}-9 \end{align*}

Exercice 4

\begin{align*} A&=16x^{2}+40x+25\\ &=(4x)^{2}+2\times 4x\times 5+5^{2}\\ &=(4x+5)^{2} \end{align*}

\begin{align*} B&=9x^{2}+42x+49\\ &=(3x)^{2}+2\times 3x\times 7+7^{2}\\ &=(3x+7)^{2} \end{align*}

\begin{align*} C&=4x^{2}+24x+36\\ &=(2x)^{2}+2\times 2x\times 6+6^{2}\\ &=(2x+6)^{2} \end{align*}

\begin{align*} D&=x^{2}+3x+\frac{9}{4}\\ &=x^{2}+2\times x\times \frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\ &=\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} \end{align*}

Exercice 5

\begin{align*} A&=25x^{2}-20x+4\\ &=(5x)^{2}-2\times 5x\times 2+2^{2}\\ &=(5x-2)^{2} \end{align*}

\begin{align*} B&=49x^{2}-4x+\frac{4}{49}\\ &=(7x)^{2}-2\times 7x\times \frac{2}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}\\ &=\left(7x-\frac{2}{7}\right)^{2} \end{align*}

\begin{align*} C&=4x^{2}-4x+1\\ &=(2x)^{2}-2\times 2x\times 1+1^{2}\\ &=(2x-1)^{2} \end{align*}

\begin{align*} D&=81x^{2}-18x+1\\ &=(9x)^{2}-2\times 9x\times 1+1^{2}\\ &=(9x-1)^{2} \end{align*}

Exercice 6

\begin{align*} A&=x^{2}-25\\ &=x^{2}-5^{2}\\ &=(x-5)(x+5) \end{align*}

\begin{align*} B&=9x^{2}-49\\ &=(3x)^{2}-7^{2}\\ &=(3x-7)(3x+7) \end{align*}

\begin{align*} C&=\frac{169}{16}x^{2}-\frac{64}{49}\\ &=\left(\frac{13}{4}x\right)^{2}-\left(\frac{8}{7}\right)^{2}\\ &=\left(\frac{13}{4}x-\frac{8}{7}\right)\left(\frac{13}{4}x+\frac{8}{7}\right) \end{align*}

\begin{align*} D&=(x-7)^{2}-(2x-3)^{2}\\ &=\left[(x-7)-(2x-3)\right]\left[(x-7)+(2x-3)\right]\\ &=(x-7-2x+3)(x-7+2x-3)\\ &=(-x-4)(3x-10) \end{align*}

Exercice 7

1) Calcul de l'aire du carré ABCD :
\begin{align*} A_{\text{ABCD}}&=AB\times AD \\ &=(AE+EB)\times (AF+FD)\\ &=(a+b)\times (a+b)\\ &=(a+b)^{2} \end{align*}
2) Calcul de l'aire du carré AEIF :

\begin{align*} A_{\text{AEIF}}&=AE\times AF \\ &=a\times a\\ &=a^{2} \end{align*}

Calcul de l'aire du rectangle EBHI :

\begin{align*} A_{\text{EBHI}}&=EB\times EI \\ &=b\times a\\ &=ab \end{align*}

Calcul de l'aire du rectangle FIGD :

\begin{align*} A_{\text{FIGD}}&=FI\times FD \\ &=a\times b\\ &=ab \end{align*}

Calcul de l'aire du rectangle IHCG :

\begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=IH\times IG \\ &=b\times b\\ &=b^{2} \end{align*}

3) Calcul de l'aire ABCD :

\begin{align*} A_{\text{ABCD}}&=A_{\text{AEIF}}+A_{\text{EBHI}}+A_{\text{FIGD}}+A_{\text{IHCG}} \\ &=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{align*}

4) En utilisant les résultats des questions 1 à 3, nous avons :
\begin{align*} A_{\text{ABCD}}&=(a+b)^{2} \\ &=a^{2}+2ab+b^{2} \end{align*}
On reconnaît bien notre identité remarquable.

Exercice 8

1) Calcul de l'aire GBFH :

\begin{align*} A_{\text{GBFH}}&=GB\times BF \\ &=(a-b)\times (a+b) \end{align*}

2) Calcul de l'aire ABFE :

\begin{align*} A_{\text{ABFE}}&=AB\times AE \\ &=a\times (a+b) \end{align*}

Calcul de l'aire AGID :

\begin{align*} A_{\text{AGID}}&=AG\times AD \\ &=b\times a\\ &=ab \end{align*}

Calcul de l'aire DIHE :

\begin{align*} A_{\text{DIHE}}&=DI\times DE \\ &=b\times b\\ &=b^{2} \end{align*}

3) Calcul de l'aire GBFH :

\begin{align*} A_{\text{GBFH}}&=A_{\text{ABFE}}-A_{\text{AGID}}-A_{\text{DIHE}} \\ &=a^{2}+ab-ab-b^{2}\\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*}

4) En utilisant les résultats des questions 1 à 3, nous avons :
\begin{align*} A_{\text{GBFH}}&=(a+b)(a-b) \\ &=a^{2}-b^{2} \end{align*}
On reconnaît bien notre identité remarquable.

Exercice 9

1) Calcul de l'aire IHCG :

\begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=IH\times IG \\ &=(a-b)\times (a-b)\\ &=(a-b)^{2} \end{align*}

2) Calcul de l'aire AEIF :

\begin{align*} A_{\text{AEIF}}&=AE\times AF \\ &=b\times b\\ &=b^{2} \end{align*}

Calcul de l'aire EBHI :

\begin{align*} A_{\text{EBHI}}&=EB\times EI \\ &=(a-b)\times b\\ &=ab-b^{2} \end{align*}

Calcul de l'aire FIGD :

\begin{align*} A_{\text{FIGD}}&=FI\times FD \\ &=b\times (a-b)\\ &=ab-b^{2} \end{align*}

3) Calcul de l'aire IHCG :
\begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=A_{\text{ABCD}}-A_{\text{AEIF}}-A_{\text{EBHI}}-A_{\text{FIGD}} \\ &=a^{2}-b^{2}-(ab-b^{2})-(ab-b^{2})\\ &=a^{2}-b^{2}-ab+b^{2}-ab+b^{2}\\ &=a^{2}-2ab+b^{2} \end{align*}

4) En utilisant les résultats des questions 1 à 3, nous avons :
\begin{align*} A_{\text{IHCG}}&=(a-b)^{2} \\ &=a^{2}-2ab+b^{2} \end{align*}
On reconnaît bien notre identité remarquable.
Correction des exercices d'entraînement sur les identités remarquables, le développement et la factorisation pour la troisième (3ème)
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