DEVELOPPEMENT ET FACTORISATION - IDENTITES REMARQUABLES

I) DEVELOPPEMENT


Définition
Développer un produit consiste à le transformer en une somme ou une différence.


Propriété
La multiplication est distributive par rapport à l’addition et la soustraction.


A) Distributivité simple

Propriété
Pour tout nombre relatif k, a et b, on a :
k(a+b)=ka+kb
On dit que l’on distribue k sur a et sur b.


Exemples :

Il ne faut pas oublier de réduire l’expression et l’ordonner. On rassemble les termes de même degré, c'est-à-dire les x^{2} avec les x^{2}, les x avec les x et les nombres avec les nombres comme dans les exemples ci-dessus.
Ensuite, on les ordonne par degré, c'est-à-dire par puissances décroissantes de x. D’abord les x^{2}, puis les x, puis les constantes.

B) Double distributivité

Propriété
Pour tout nombre relatif a, b, c et d, on a :
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
On distribue a sur c et d puis b sur c et d.

Démonstration :

On utilise la relation de la distributivité simple en remplaçant k par a + b.
\begin{align*}
(a+b)(c+d)&=k(c+d)\\
&=kc+kd\\
&=(a+b)c+(a+b)d\\
&=ac+bc+ad+bd\\
&=ac+ad+bc+bd
\end{align*}

Exemples :

 Ne pas oublier que lorsqu'on a un signe "-" devant une parenthèse, cela change tous les signes à l'intérieur des parenthèses.



II) IDENTITES REMARQUABLES


Trois nouvelles relations sont à connaître par cœur : elles sont appelées « identités remarquables ».

A) Carré d'une somme

Propriété
Pour tout nombre relatif a et b, on a :
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Démonstration par le calcul :
On utilise la relation de double distributivité vue dans le I) pour démontrer cette identité remarquable.
\begin{align*}
(a+b)^{2}&=(a+b)(a+b)\\
&=a\times a+a \times b+b \times a+b\times b\\
&=a^{2}+ab+ba+b^{2}\\
&=a^{2}+ab+ab+b^{2}\\
&=a^{2}+2ab+b^{2}
\end{align*}
Une démonstration géométrique est proposée dans les exercices.

Exemples :
\begin{align*}
I&=(\underbrace{x}_{a}+\underbrace{4}_{b})^{2}\\
&=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}+\underbrace{2\times x\times 4}_{2ab}+\underbrace{4^{2}}_{b^{2}}\\
&=x^{2}+8x+16
\end{align*}

\begin{align*}
J&=(\underbrace{3x}_{a}+\underbrace{5}_{b})^{2}\\
&=\underbrace{(3x)^{2}}_{a^{2}}+\underbrace{2\times 3x\times 5}_{2ab}+\underbrace{5^{2}}_{b^{2}}\\
&=3^{2}x^{2}+30x+25\\
&=9x^{2}+30x+25
\end{align*}
 Rappel :
(ax)^{2}=a^{2}x^{2}\neq ax^{2}
Dans le calcul de J, on a : (3x)^{2}=3^{2}\times x^{2}=9x^{2} qui est bien différent de 3x^{2}.

B) Carré d'une différence

Propriété
Pour tout nombre relatif a et b, on a :
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

Démonstration par le calcul :
On utilise la relation de double distributivité vue dans le I) pour démontrer cette identité remarquable.
\begin{align*}
(a-b)^{2}&=(a-b)(a-b)\\
&=(a+(-b))(a+(-b))\\
&=a\times a+a \times (-b)+(-b) \times a+(-b)\times (-b)\\
&=a^{2}-ab-ba+b^{2}\\
&=a^{2}-ab-ab+b^{2}\\
&=a^{2}-2ab+b^{2}
\end{align*}
Une démonstration géométrique est proposée dans les exercices.

Exemples :
\begin{align*}
K&=(\underbrace{x}_{a}-\underbrace{2}_{b})^{2}\\
&=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{2\times x\times 2}_{2ab}+\underbrace{2^{2}}_{b^{2}}\\
&=x^{2}-4x+4
\end{align*}

\begin{align*}
L&=(\underbrace{2x}_{a}-\underbrace{4}_{b})^{2}\\
&=\underbrace{(2x)^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{2\times 2x\times 4}_{2ab}+\underbrace{4^{2}}_{b^{2}}\\
&=2^{2}x^{2}-16x+16\\
&=4x^{2}-16x+16
\end{align*}
 

C) Produit d'une somme par une différence :

Propriété
Pour tout nombre relatif a et b, on a :
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

Démonstration par le calcul :
On utilise la relation de double distributivité vue dans le I) pour démontrer cette identité remarquable.
\begin{align*}
(a+b)(a-b)&=(a+b)(a+(-b))\\
&=a\times a+a \times (-b)+b \times a+b\times (-b)\\
&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\
&=a^{2}-ab+ab-b^{2}\\
&=a^{2}-b^{2}
\end{align*}
Une démonstration géométrique est proposée dans les exercices.

Exemples :

\begin{align*}
M&=(\underbrace{x}_{a}+\underbrace{1}_{b})(\underbrace{x}_{a}-\underbrace{1}_{b})\\
&=\underbrace{x^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{1^{2}}_{b^{2}}\\
&=x^{2}-1
\end{align*}

\begin{align*}
N&=(\underbrace{2x}_{a}+\underbrace{4}_{b})(\underbrace{2x}_{a}-\underbrace{4}_{b})\\
&=\underbrace{(2x)^{2}}_{a^{2}}-\underbrace{4^{2}}_{b^{2}}\\
&=2^{2}x^{2}-16\\
&=4x^{2}-16
\end{align*} 


III) FACTORISATION

Définition
Factoriser une somme ou une différence consiste à la transformer en un produit.

Pour factoriser une somme ou une différence, il y a deux possibilités : reconnaître une identité remarquable ou reconnaître un facteur commun.

A) Reconnaître une identité remarquable

Exemples avec les trois identités remarquables vues dans le II :
O=4x^{2}+20x+25
O=(2x)^{2}+2\times 2x \times 5+5^{2} est de la forme O=a^{2}+2ab+b^{2} avec a=2x et b=5 donc on peut factoriser sous la forme (a+b)^{2} ce qui donne :
O=(2x+5)^{2}

P=x^{2}-12x+36
P=x^{2}-2\times x \times 6+6^{2} est de la forme P=a^{2}-2ab+b^{2} avec a=x et b=6 donc on peut factoriser sous la forme (a-b)^{2} ce qui donne :
P=(x-6)^{2}

Q=16x^{2}-49
Q=(4x)^{2}-7^{2} est de la forme Q=a^{2}-b^{2} avec a=4x et b=7 donc on peut factoriser sous la forme (a+b)(a-b) ce qui donne :
Q=(4x+7)(4x-7)

B) Reconnaître un facteur commun

Le plus simple est de comprendre à partir d'exemples.

Exemple 1 :

\begin{align*}
R&=(2x+1)(3x+2)+(2x+1)(x-4)\\
&=\boxed{(2x+1)}(3x+2)+\boxed{(2x+1)}(x-4)
\end{align*}
On remarque que 2x+1 est le facteur commun.
\begin{align*}
R&=\boxed{(2x+1)}[(3x+2)+(x-4)]\\
&=(2x+1)(3x+2+x-4)\\
&=(2x+1)(4x-2)
\end{align*}

Exemple 2 :
\begin{align*}
S&=(x-6)^{2}-(x-6)(2x+3)\\
&=\boxed{(x-6)}(x-6)-\boxed{(x-6)}(2x+3)
\end{align*}
On remarque que x-6 est le facteur commun.
\begin{align*}
S&=\boxed{(x-6)}[(x-6)-(2x+3)]\\
&=(x-6)(x-6-2x-3)\\
&=(x-6)(-x-9)\\
&=-(x-6)(x+9)
\end{align*}

Exemple 3 :
T=(4x-5)(2x+3)+16x^{2}-25
A priori, on ne voit pas ici de facteur commun. Factorisons préalablement 16x^{2}-25 :
16x^{2}-25=(4x)^{2}-5^{2}=(4x-5)(4x+5)
On peut alors réécrire T :
\begin{align*}
T&=(4x-5)(2x+3)+(4x-5)(4x+5)\\
&=\boxed{(4x-5)}(2x+3)+\boxed{(4x-5)}(4x+5)
\end{align*}
On remarque que 4x-5 est le facteur commun.
\begin{align*}
T&=\boxed{(4x-5)}[(2x+3)+(4x+5)]\\
&=(4x-5)(2x+3+4x+5)\\
&=(4x-5)(6x+8)\\
\end{align*}
La factorisation est presque terminée. On remarque que l’on peut encore factoriser la dernière parenthèse par 2 :
\begin{align*}
T&=(4x-5)(3x+4)\times 2\\
&=2(4x-5)(3x+4)
\end{align*}
Cours sur les identités remarquables, le développement et la factorisation
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