CORRECTION DU BREVET FRANCE 2016

CORRECTION DU BREVET FRANCE JUIN 2016

Exercice 1 (4 points)

Usine A Usine B
Bons 473 462
Défectueux 27 38

1) Parmi les 500 composants prélevés dans l'usine A, 27 sont défectueux.
La probabilité qu'un composant tiré au hasard parmi ceux provenant de l’usine A soit défectueux est égale à :
\frac{27}{500}=0.054

2) Nombre total de composants défectueux : 27 + 38 = 65
Il y a 65 composants défectueux. Parmi ceux-ci, 27 proviennent de l'usine A donc la probabilité qu'un composant tiré au hasard parmi ceux qui sont défectueux provienne de l'usine A est égale à :
\frac{27}{65}\approx 0.415

3) Dans l'usine A, le taux de composants défectueux est de 0.054, soit 5.4% ce qui est inférieur à 7%. Le contrôle est satisfaisant dans l'usine A.
Dans l'usine B, le taux de composants défectueux est égal à :
\frac{38}{500}=0.076=7.6\%
Le taux est de 7.6% dans l'usine B ce qui est supérieur à 7% ; par conséquent le contrôle n'est pas satisfaisant dans l'usine B.

Exercice 2 (4.5 points)

On considère les deux programmes de calcul ci-dessous.

Programme A Programme B
1. Choisir un nombre.
2. Multiplier par -2.
3. Ajouter 13.
1. Choisir un nombre.
2. Soustraire 7.
3. Multiplier par 3.

1) Avec le programme A
Choisir un nombre : 2
Multiplier par -2 : 2\times(-2)=-4
Ajouter 13 : -4+13=9

2) Avec le programme B, en appelant x le nombre de départ.
Choisir un nombre : x
Soustraire 7 : x-7
Multiplier par 3 : 3(x-7)=3x-21
Lorsque x est le nombre de départ avec le programme B, le nombre d'arrivée est 3x-21. On souhaite que le nombre d'arrivée soit égal à 9. On doit donc résoudre l'équation suivante :
\begin{align*}
&3x-21=9\\
&3x=9+21\\
&3x=30\\
&x=\frac{30}{3}\\
&x=10
\end{align*}
Pour obtenir 9 comme nombre d'arrivée avec le programme B, il faut choisir 10 comme nombre de départ.

3) Avec le programme A, en appelant x le nombre de départ.
Choisir un nombre : x
Multiplier par -2 : x\times(-2)=-2x
Ajouter 13 : -2x+13
Lorsque x est le nombre de départ avec le programme A, le nombre d'arrivée est -2x-13.
Pour avoir le même nombre d'arrivée avec le programme A et le programme B, on doit résoudre l'équation suivante :
\begin{align*}
&-2x+13=3x-21\\
&13+21=3x+2x\\
&5x=34\\
&x=\frac{34}{5}\\
&x=6.8
\end{align*}
Il faut choisir 6.8 comme nombre de départ pour obtenir le même résultat avec les deux programmes.

Exercice 3 (5 points)

Figure 1


BC = 6 cm
Figure 2
Figure 3

[AB] est un diamètre du cercle de centre O.
La longueur du cercle est 154 cm.

1) Figure 1
Le triangle ABC est rectangle en B avec BC = 6 cm et AC = 12 cm (d'après les codages) donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\\
&AB^{2}=AC^{2}-BC^{2}\\
&AB^{2}=12^{2}-6^{2}\\
&AB^{2}=144-36\\
&AB^{2}=108\\
&AB=\sqrt{108}\\
&AB=\sqrt{36\times 3}\\
&AB=\sqrt{36}\times \sqrt{3}\\
&AB=6\sqrt{3}\text{ cm (valeur exacte)}\\
&AB\approx 10.4\text{ cm (valeur arrondie au mm)}
\end{align*}
AB mesure approximativement 10.4 cm (valeur arrondie au mm).

2) Figure 2
Le triangle ABC est rectangle en A, on peut utiliser les formules trigonométriques pour déterminer la longueur AB :
\begin{align*}
&\sin{\widehat{ACB}}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{ACB}}{\text{hypot\'enuse}}=\frac{AB}{BC}\\
&\sin{(53)}=\frac{AB}{36}\\
&AB=\sin{53}\times 36\\
&AB\approx 28.8\text{ cm (valeur arrondie au mm)}
\end{align*}
AB mesure approximativement 28.8 cm (valeur arrondie au mm).

3) Figure 3
Le périmètre du cercle étant de 154 cm :
\begin{align*}
&P=2\pi\times r\\
&P=2\pi\times OB\\
&P=\pi \times AB\\
&AB=\frac{P}{\pi}\\
&AB=\frac{154}{\pi}\\
&AB\approx 49\text{ cm (valeur arrondie au mm)}
\end{align*}
AB mesure approximativement 49 cm (valeur arrondie au mm).

Exercice 4 (5 points)

1) Prix après réduction :
54\times\left(1-\frac{30}{100}\right)=54\times 0.7=37.8
Cet article coûtera 37€80 après réduction.

2)

a) En B2, il a dû saisir la formule suivante :
=B1*0.3

b) En B3, il a dû saisir la formule suivante :
=B1-B2

3) Soit x le prix initial. On applique une réduction de 30% pour obtenir le nouveau prix :
x\times \left(1-\frac{30}{100}\right)=0.7x
Le nouveau prix vaut 42€. On en déduit le prix initial :
\begin{align*}
&42=0.7x\\
&x=\frac{42}{0.7}\\
&x=60
\end{align*}
Le prix initial était de 60€.

Exercice 5 (5,5 points)



1) Surface de la zone PAS :
A_{PAS}=\frac{PA \times AS}{2}=\frac{30 \times 18}{2}=270\text{ m}^{2}
La surface de la zone de jeux est de 270 m2.
Sachant qu'un sac permet de couvrir 140 m2, il faudra deux sacs pour couvrir 270 m2, soit un budget de :
13.90\times 2=27\euro80
Il faudra 27€80 de budget pour couvrir la zone de jeux pour enfants de gazon.

2) Il faut d'abord calculer la longueur RC.
Les droites (AS) et (RC) sont perpendiculaires à la même droite (PR), donc (AS) est parallèle à (RC). On peut donc utiliser le théorème de Thalès pour calculer la longueur RC :
\begin{align*}
&\frac{PA}{PR}=\frac{PS}{PC}=\frac{AS}{RC}\\
&\frac{PA}{PA+AR}=\frac{PS}{PC}=\frac{AS}{RC}\\
&\frac{30}{30+10}=\frac{PS}{PC}=\frac{18}{RC}\\
\end{align*}
On cherche à calculer la longueur RC :
\begin{align*}
&0.75=\frac{18}{RC}\\
&RC=\frac{18}{0.75}\\
&RC=24\text{ m}
\end{align*}
RC mesure 24 mètres.
Deux possibilités pour calculer l'aire du skatepark :
a) ASCR est un trapèze donc :
A_{ASCR}=\frac{(b+B) \times h}{2}=\frac{(AS+RC)\times AR}{2}=\frac{(18+24)\times 10}{2}=210\text{ m}^{2}
La superficie du skatepark est de 210 m2.
b) Aire du triangle PRC :
A_{PRC}=\frac{PR \times RC}{2}=\frac{40\times 24}{2}=480\text{ m}^{2}
L'aire du triangle PRC est de 480 m2. On en déduit l'aire du trapèze ASRC :
A_{ASCR}=A_{PRC}-A_{PAS}=480-270=210\text{ m}^{2}
La superficie du skatepark est de 210 m2.

Exercice 6 (7 points)

Partie 1
1) Si le morceau n°1 mesure 8 cm, on obtient un carré de 2 cm de côté. Il reste alors 12 cm, et on obtient un triangle équilatéral dont la longueur de chaque côté est de 4 cm :



2) Calcul de l'aire du carré :
A_{\text{carr\'e}}=2^{2}=4\text{ cm}^{2}
L'aire du carré est de 4 cm2.

3) La hauteur du triangle mesure approximativement 3.4 cm. On en déduit l'aire du triangle :
A_{\text{triangle}}\approx\frac{4\times 3.4}{2}=6.8\text{ cm}^{2}
L'aire du triangle est approximativement de 6.8 cm2.

Partie 2
1) Si on appelle x la longueur du morceau n°1, alors la longueur de chaque côté du carré est égale à :
\frac{x}{4}
L'aire du carré est alors égale à :
\left(\frac{x}{4}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{16}

2)
Graphique représentant les aires des polygones en fonction de la longueur
du «morceau n° 1 »


a) Il faut regarder la courbe B. Pour obtenir un triangle ayant une aire de 14 cm2, il faut que le morceau n°1 mesure environ 3 cm.

b) On regarde le point d'intersection des deux courbes. Il faut que le morceau n°1 mesure environ 9.5 cm.

Exercice 7 (5 points)


Caractéristiques du vase



Matière : verre
Forme : pavé droit
Dimensions extérieures : 9 cm × 9 cm × 21,7 cm
Épaisseur des bords : 0,2 cm
Épaisseur du fond : 1,7 cm
Caractéristiques des billes



Matière : verre
Forme : boule
Dimension : 1,8 cm de diamètre

Pour calculer le volume remplissable du vase, sa hauteur est égale à :
h=21.7-1.7=20\text{ cm}
La base du vase est un carré de 9 cm. Mais il faut enlever les bordures. Chaque côté du carré mesure :
c=9-0.2-0.2=8.6\text{ cm}
On en déduit le volume du vase :
V_{\text{vase}}=c\times c\times h = 8.6^{2}\times 20=1479.2 \text{ cm}^{3}
Le volume remplissable du vase est de 1479.2 cm3.
Le diamètre d'une bille est de 1.8 cm, donc le rayon est de 0.9 cm.
Calcul du volume d'une bille :
\begin{align*}
V_{\text{bille}}&=\frac{4}{3}\times\pi\times r^{3}\\
&=\frac{4}{3}\times \pi \times 0.9^{3}\\
&=0.972\pi \text{ cm}^{3}
\end{align*}
Le volume d'une bille est de 0.972 \pi cm3.
Volume des 150 billes :
150\times 0.972\pi=145.8\pi \text{ cm}^{3}
Volume restant pour l'eau :
1479.2-145.8\pi\approx 1021.16 \text{ cm}^{3}
Le volume restant pour l'eau est de 1021.16 cm3. Transformons ce volume en litre(s) :
1021.16 \text{ cm}^{3}=1.02116\text{ dm}^{3}=1.02116\text{ litre}
Comme 1.02116 est supérieur à 1, Antoine pourra ajouter un litre d'eau colorée sans risquer le débordement.
Correction du brevet des collèges France Métropole - La Réunion - Antilles - Guyane 22 juin 2016
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