CORRECTION DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS***

EXERCICES DE BREVET

Exercice 1 (France juin 2009)

1) Coordonnées de B :
B (-4 ; 4,6)

2) La courbe C3 coupe l’axe des abscisses aux points de coordonnées (-1 ; 0) (2 ; 0) et (4 ; 0).

3) La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère. Par conséquent, C1 est une représentation d’une fonction linéaire.

4) La fonction f:x \rightarrow -0.4x+3 est une fonction affine puisqu’elle est de la forme y=ax+b.
Sa courbe représentative ne passe pas par l’origine.
L’ordonnée à l’origine est 3 donc elle passe par le point de coordonnées (0 ; 3).
D’autre part, le coefficient directeur est négatif donc la courbe « descend ».
C2 est donc la représentation graphique de la fonction affine f.

5) Graphiquement, l’antécédent de 1 par f est 5.
Pour déterminer par le calcul l’antécédent de 1, il faut résoudre l’équation f(x)=1.
\begin{align*}
&-0.4x+3=1\\
&-0.4x=1-3\\
&-0.4x=-2\\
&x=\frac{-2}{-0.4}\\
&x=5
\end{align*}
Nous avons donc f(x)=1 lorsque x=5.

6) Graphiquement, on s’aperçoit que A n’appartient pas à C2.
On calcule f(4.6)
\begin{align*}
f(4.6)&=-0.4\times 4.6+3\\
f(4.6)&=-1.84+3\\
f(4.6)&=1.16
\end{align*}
1,16 ≠ 1,2 donc A n’appartient pas à C2.

Exercice 2 (Amérique du Nord juin 2015)

1)
a) La distance totale de l'étape est donnée par l'ordonnée du point I. Elle est de 190 kilomètres.

b) Le cycliste a parcouru les cent premiers kilomètres en 2.5 heures, soit 2 heures et 30 minutes.

c) La dernière demi-heure de course est celle comprise entre 4 heures et 4.5 heures. Au bout de 4 heures, il a parcouru 170 kilomètres. Au bout de 4 heures 30, il a parcouru 190 kilomètres. Par conséquent, lors de la dernière demi-heure, il a roulé sur 20 kilomètres.

2) Il n'y a pas proportionnalité entre la distance parcourue et la durée de parcours de cette étape car la représentation graphique n'est pas une droite. En effet, pour deux intervalles de temps identiques (1 heure par exemple), la distance parcourue n'est pas nécessairement la même : 30 kilomètres entre 1 heure et 2 heures, 60 kilomètres entre 2 heures et 3 heures. Le parcours était peut-être montagneux entre la première et la deuxième heure ce qui peut expliquer qu'il ait parcouru moins de kilomètres en une heure que sur d'autres créneaux horaires.

Exercice 3 (Polynésie juin 2015)

1)
a) A 100 mètres de la tondeuse, le bruit est de 50 décibels.

b) Lorsque le niveau de bruit est égal à 60 décibels, on se situe à 30 mètres de la tondeuse.

2) Quand on se trouve à 5 mètres de la machine A, le bruit est de 85 décibels (1er graphique).
Pour la machine B, le bruit est de 85 décibels lorsqu'on se situe à 10 mètres de la machine (2ème graphique).


Exercice 4 (Nouvelle Calédonie décembre 2015)

1) Prix payé suivant les différentes formules pour un seul clip :
Téléchargement direct : 4€
Téléchargement membre : 12€
Téléchargement premium : 50€
Le choix le moins cher est par conséquent la formule de téléchargement direct.

2) Tableau :
Nombre de clips 1 2 5 10 15
Téléchargement direct 4 8 4 × 5 = 20  10 × 5 = 50   15 × 5 = 75 
Téléchargement membre 12 14 10 + 2 × 5 = 20   10 + 2 × 10 = 30  10 + 2 × 15 = 40
Téléchargement premium 50 50 50  50 50 

On constate que les tarifs direct et membre sont identiques pour 5 clips par mois ; le tarif membre devient plus intéressant dès le 6ème clip.

3) Dans cette question, x désigne le nombre de clips vidéos achetés. f,g et h sont trois fonctions définies par :
\begin{align*}
f(x)&=50\\
g(x)&=4x\\
h(x)&=2x+10
\end{align*}
a) La fonction f représente l'offre premium. En effet, quel que soit le nombre de clips achetés, on paie 50€.
La fonction g représente l'offre de téléchargement direct : on paie 4€ par clip.
La fonction h représente l'offre de téléchargement membre : après avoir payé 10€, on paie 2€ par clip.

b) Pour tracer le graphique, on peut utiliser le tableau de valeurs de la question 2.


c) Graphiquement, l'offre premium coûte exactement la même chose que l'offre membre pour 20 clips (pointillés marrons). Par conséquent, l'offre premium est la moins chère dès un achat supérieur ou égal à 21 clips.


Exercice 5 (Centres étrangers juin 2014)

1) Si l'eau est à 0°C, alors la température en degré Fahrenheit est égale à :
1.8 \times 0+32=32
0°C équivaut à 32°F.

2) Si l'eau est à 212°F, alors la température en degré Celsius est égale à :
\begin{align*}
&212=1.8x+32\\
&1.8x=180\\
&x=\frac{180}{1.8}\\
&x=100
\end{align*}
Le thermomètre indiquerait 100°C. A cette température, l'eau bout.

3)
a) Si on appelle x la température en degrés Fahrenheit, alors la fonction est :
f(x)=1.8x+32

b) Il s'agit d'une fonction affine car elle est de la forme :
f(x)=ax+b
Avec a=1.8 et b=32.

c) On calcule f(5) :
\begin{align*}
f(5)&=1.8\times 5+32\\
f(5)&=41
\end{align*}
L'image de 5 est 41.

d) L'antécédent de 5 par la fonction f est la solution de l'équation suivante :
\begin{align*}
&5=1.8x+32\\
&1.8x=-27\\
&x=\frac{-27}{1.8}\\
&x=-15
\end{align*}
L'antécédent de 5 est -15.

e) Cela signifie que 10° Celsius équivalent à 50° Fahrenheit.


Exercice 6 (Polynésie juin 2014)

1) D'après la case C2, 0 a pour image -7 par la fonction f.
 
2) Calcul de  f(6) :
f(6)=6^{2}+3\times 6-7=36+18-7=47
 
3) On constate en effet que les cellules E2 et E3 correspondant à l'image de 4 par les fonctions f et g sont identiques. La solution à cette équation est donc égale à 4.

4) h est une fonction affine donc elle est de la forme :
h(x)=ax+b
D'après le tableau, nous avons h(0)=5 (case C4) ce qui signifie que l'ordonnée à l'origine est 5 (paramètre b) donc la fonction h peut s'écrire sous la forme :
h(x)=ax+5
Il suffit d'avoir un autre point pour déterminer le paramètre a, par exemple le point (2;1) :
\begin{align*}
&1=a\times 2+5\\
&-4=2a\\
&a=\frac{-4}{2}\\
&a=-2
\end{align*}
Nous avons ainsi retrouvé l’expression algébrique h(x) de la fonction affine h qui est :
h(x)=-2x+5

Exercice 7 (Amérique du Nord juin 2013)

On dispose d’un carré de métal de 40 cm de côté. Pour fabriquer une boîte parallélépipèdique, on enlève à chaque coin un carré de côté x et on relève les bords par pliage.
1) Tout d'abord, x est nécessairement positif puisque c'est une longueur.
Etant donné que l'on enlève x deux fois dans une longueur, on ne peut pas enlever plus de 20 cm. Par conséquent, nous avons :
0<x<20

2) La longueur de la boîte mesure 40-2\times 5=30 cm. De même pour la largeur. La hauteur mesure 5 cm. Par conséquent, le volume de la boîte est égal à :
\begin{align*}
V&=L\times l \times h\\
&=5\times 30\times 30\\
&=4500
\end{align*}
Le volume est de 4500 cm3.

3)

a) Le volume de la boîte est maximal pour x=6.5 cm (pointillés rouges).
b) Pour que le volume de la boîte soit de 2000 cm3, il y a deux possibilités : x=1.5 et x=14 (pointillés verts).
Correction des exercices de brevet sur les fonctions
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