CORRECTION DES EXERCICES SUR LES FONCTIONS AFFINES ET LINEAIRES **

EXERCICES D'APPLICATION

Exercice 1

La fonction f est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite de pente positive passant par l'origine du repère.

La fonction g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite de pente négative et passant par le point de coordonnées (0 ; 2).

La fonction h est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Pour tracer les courbes représentatives, on peut s'aider d'un tableau de valeur comme celui qui suit :

x -2 0 2
f(x) -4 0 4
g(x) 4 2 0
h(x) 1 1 1



Exercice 2

La fonction f est une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

La fonction g est une fonction affine. Sa représentation graphique est une droite de pente positive et passant par le point de coordonnées (0 ; 1).

La fonction h est une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite de pente négative passant par l'origine du repère.

Pour tracer les courbes représentatives, on peut s'aider d'un tableau de valeur comme celui qui suit :

x -2 0 2
f(x) -2 -2 -2
g(x) -1 1 3
h(x) 2 0 -2



Exercice 3

1) Il s'agit d'une fonction affine car elle est de la forme :
h(x)=ax+b
Avec a=2 et b=-3.

2) Calcul de l'image de 5 :
\begin{align*}
h(5)&=2\times 5-3\\
&=10-3\\
&=7
\end{align*}
L'image de 5 est 7 par la fonction h.

3) Calcul de l'antécédent de 0 :
\begin{align*}
&0=2x-3\\
&3=2x\\
&x=\frac{3}{2}\\
&x=1.5
\end{align*}
L'antécédent de 0 est 1.5.

4) Pour représenter graphiquement la fonction, on peut s'aider d'un petit tableau de valeur :

x -2 0 2
h(x) -7 -3 1



5) Graphiquement, l'antécédent de 7 est 5 (pointillés rouges sur le graphique).


Exercice 4

La courbe en bleu est la représentation d'une fonction linéaire. En effet, c'est une droite qui passe par l'origine du repère. Lorsqu'on prend un point de cette droite et que l'on se décale d'une unité vers la droite (flèche verte), on doit diminuer de deux unités vers le bas (flèche violette) pour retomber sur un point de cette droite, ce qui signifie que le coefficient directeur vaut -2. Par conséquent, l'expression de la fonction représentée (appelons-la f) est :
f(x)=-2x

La courbe en rouge est la représentation graphique d'une fonction affine. En effet, c'est une droite qui passe par le point de coordonnées (0 ; -3). On en déduit que -3 est l'ordonnée à l'origine. Lorsqu'on prend un point de cette droite et que l'on se décale d'une unité vers la droite (flèche verte), on doit augmenter d'une unité vers le haut (flèche violette) pour retomber sur un point de cette droite, ce qui signifie que le coefficient directeur vaut 1. Par conséquent, l'expression de la fonction représentée (appelons-la g) est :
g(x)=x-3




Exercice 5

La courbe en bleu est la représentation d'une fonction linéaire. En effet, c'est une droite qui passe par l'origine du repère. Lorsqu'on prend un point de cette droite et que l'on se décale d'une unité vers la droite (flèche verte), on doit augmenter de deux unités vers le haut (flèche violette) pour retomber sur un point de cette droite, ce qui signifie que le coefficient directeur vaut 2. Par conséquent, l'expression de la fonction représentée (appelons-la f) est :
f(x)=2x

La courbe en rouge est la représentation graphique d'une fonction affine. En effet, il s'agit d'une droite. Sur ce graphique, on ne peut pas lire l'ordonnée à l'origine. On peut toutefois connaître le coefficient directeur. En effet, lorsqu'on prend un point de cette droite et que l'on se décale d'une unité vers la droite (flèche verte), on doit diminuer de deux unités vers le bas (flèche violette) pour retomber sur un point de cette droite, ce qui signifie que le coefficient directeur vaut -2. Par conséquent, l'expression de la fonction représentée (appelons-la g) peut s'écrire sous la forme :
g(x)=-2x+b
Pour déterminer l'ordonnée à l'origine, il nous suffit de prendre un point appartenant à cette droite, comme le point de coordonnées (2 ; 1) :
\begin{align*}
&1=-2 \times 2+b\\
&1=-4+b\\
&b=5
\end{align*}
L'ordonnée à l'origine vaut 5. On en déduit l'expression de la fonction g :
g(x)=-2x+5



Exercice 6

1) h est une fonction linéaire. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
h(x)=ax
On sait que h(4)=2 donc :
h(4)=4a=2
On en déduit a :
a=\frac{2}{4}=0.5
Et par suite la fonction h :
h(x)=0.5x

2) k est une fonction affine. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
k(x)=ax+b
On sait que k(3)=0 donc nous avons :
0=3a+b
On sait également que k(-1)=2 donc :
2=-a+b
Pour déterminer a et b, on peut résoudre le système suivant :
\begin{align*}
\left
\{
\begin{array}{ccc}
3a+b=0\\
b-a=2
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
3a+b=0\\
b=2+a
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
3a+2+a=0\\
b=2+a
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
4a=-2\\
b=2+a
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
a=-0.5\\
b=2-0.5
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
a=-0.5\\
b=1.5
\end{array}
\right.
\end{align*}
La fonction k est par conséquent égale à :
k(x)=-0.5x+1.5

Exercice 7

1) h est une fonction linéaire. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
h(x)=ax
On sait que h(-2)=6 donc :
h(-2)=-2a=6
On en déduit a :
a=\frac{6}{-2}=-3
Et par suite la fonction h :
h(x)=-3x

2) k est une fonction affine. Elle peut donc s'écrire sous la forme :
k(x)=ax+b
On sait que k(-5)=5 donc nous avons :
5=-5a+b
On sait également que k(5)=10 donc :
10=5a+b
Pour déterminer a et b, on peut résoudre le système suivant :
\left
\{
\begin{array}{ccc}
-5a+b=5\\
5a+b=10
\end{array}
\right.
Pour résoudre ce système, le plus simple est de sommer les deux lignes :
\begin{align*}
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
-5a+b+5a+b=5+10\\
5a+b=10
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
2b=15\\
5a+b=10
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
b=7.5\\
5a=2.5
\end{array}
\right.
&\Leftrightarrow
\left
\{
\begin{array}{ccc}
b=7.5\\
a=0.5
\end{array}
\right.
\end{align*}
La fonction k est par conséquent égale à :
k(x)=0.5x+7.5
Correction des exercices d'application sur les fonctions affines et linéaires
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