GENERALITES SUR LES FONCTIONS

INTRODUCTION

Un employé cherche à connaître son salaire suivant le nombre d'heures travaillées. Sa rémunération est de 20€ de l'heure.
Nous pouvons remplir le tableau ci-dessous :

Nombre d'heures 1 5 10
Salaire (en €) 20 × 1 = 20 20 × 5 = 100 20 × 10 = 200 20 ×  = 20

Lorsqu'on appelle le nombre d'heures travaillées, on associe à chaque le salaire correspondant égal à 20.
On a en fait défini une fonction qui associe au nombre d'heures le salaire égal à 20.


DEFINITIONS

Définition
Une fonction f permet d'associer à un nombre x un unique nombre noté f(x). On note :
f:x\rightarrow f(x)
et on lit : "f est la fonction qui à x associe f de x".

Exemple 1 :

f:x \rightarrow x^{2}
Dans cet exemple, la fonction f associe au nombre x le nombre x^{2}.

Définition
On dit que y=f(x) est l'image de x par la fonction f.
On dit également que x est l'antécédent du nombre y=f(x).

Exemple 2 :
f(16)=32
On dit que 32 est l'image de 16 par la fonction f. On peut également dire que 16 est l'antécédent de 32 par la fonction f.


CALCUL DES IMAGES ET ANTECEDENTS

A) Calcul de l'image

Pour calculer l'image d'un nombre x par une fonction f, il suffit de remplacer x par la valeur souhaitée. 
Exemple 3 :
Soit la fonction suivante :
f(x)=-2x+2
Quelle est l'image de 1 ?
Pour trouver l'image de 1, on remplace x par 1 :
f(1)=-2\times 1+2=0
L'image de 1 par la fonction f est 0.

B) Calcul de l'antécédent

Pour calculer le ou les antécédents d'un nombre y, il suffit de résoudre l'équation f(x)=y.
Exemple 4 :
Soit la fonction suivante :
f(x)=-2x+2
Quel est l'antécédent de 6 ?
Pour touver l'antécédent de 6 il faut résoudre l'équation suivante :
6=-2x+2
On trouve x=-2.

Remarque
Un nombre peut avoir plusieurs antécédents mais un nombre ne peut avoir qu'une seule image.



REPRESENTATION GRAPHIQUE

Définition
Dans un repère donné, la représentation graphique de la fonction f est l'ensemble des points de coordonnées (x;f(x)).

Exemple 5 :
Traçons la courbe représentative de la fonction suivante :
f(x)=2-x
On remplit tout d'abord un tableau de valeurs :
x -3 -2 -1 0
1 2 3
f(x) 2 - (-3) = 5 2 - (-2) = 4 2 - (-1) = 3 2 - 0 = 2 2 - 1 = 1 2 - 2 = 0 2 - 3 = -1

Les nombres en vert sont les images des nombres en rouge. Pour tracer la courbe représentative de la fonction f, nous allons utiliser les points de coordonnées (x;f(x)), c'est-à-dire les points (-3;5), (-2;4), (-1;3), ainsi de suite jusqu'à (3;-1). Graphiquement, les images figurent sur l'axe des ordonnées et les antécédents sur l'axe des abscisses.
Nous remarquons que la représentation graphique de cette fonction est une droite :


A partir de ce graphique, nous pouvons lire les images d'autres points : par exemple, l'image de -4 est 6 (en pointillés rouges).
Cours sur les fonctions (1)
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