GEOMETRIE DANS L'ESPACE, VOLUMES
Sujet des exercices ***

Exercice 1 (Amérique du sud novembre 2005)

Une calotte sphérique est un solide obtenu en sectionnant une sphère par un plan.
Un doseur de lessive liquide, représenté ci-contre, a la forme d’une calotte sphérique de centre O et de rayon \(R\) = OA = 4,5 cm.
L’ouverture de ce récipent est délimitée par le cercle de centre H et de rayon HA = 2,7 cm.
La hauteur totale de ce doseur est HK.

1) Dessiner en vraie grandeur le triangle AHO.
2) Calculer OH en justifiant puis en déduire que la hauteur totale HK du doseur mesure exactement 8,1 cm.
3) Le volume \(V\) d’une calotte sphérique de rayon \(R\) et de hauteur \(h\) est donné par la formule :
\[ V=\frac{1}{3}\pi h^{2}(3R-h) \] Calculer en fonction de \(\pi\) le volume exact du doseur en cm³. En déduire la capacité totale arrondie au millilitre du doseur.

Exercice 2 (Amérique du nord mai 2007)

SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm.

1) Calculer le volume \(V_{1}\) de la pyramide SABCD.
2) Démontrer que SB = 17 cm.
3) On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB] tel que SF = 13,6.
Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles.
4) On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide. La pyramide SEFGH ainsi obtenue est une réduction de la pyramide SABCD.

a) Quel est le coefficient de la réduction ?
b) En déduire le volume \(V_{2}\) de la pyramide SEFGH en fonction de \(V_{1}\).

Exercice 3 (Asie juin 2008)

Sur la pyramide SABCD à base rectangulaire ci-dessous, H est le centre du rectangle ABCD et (SH) est perpendiculaire à la base ABCD.
La représentation ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.
De plus, on a : SA = SB = SC = SD = 8,5 cm, CD = 12 cm et BC = 9 cm.

1) Tracer en vraie grandeur la face ABCD.
2) Vérifier par le calcul que HD = 7,5 cm.
3) Tracer en vraie grandeur le triangle SBD et placer le point H.
4) Calculer SH.
5) Calculer le volume de la pyramide SABCD.

Exercice 4 (Pondichéry avril 2009)

On considère une bougie conique représentée ci-dessous.
(La figure n’est pas aux dimensions réelles.)
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.

1) Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.
2) Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.
3) Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm³ ?
4) Calculer l’angle \(\widehat{ASO}\) ; on donnera la valeur arrondie au degré.

Exercice 5 (Amérique du nord juin 2014)

Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de « boudins » de protection. Calculer le volume exact en cm³ du "boudin" de protection ci-dessous, puis arrondir au centième :

Rappel :
Volume d'un cylindre de révolution : \(V = \pi R^{2}h\)
où \(h\) désigne la hauteur du cylindre et \(R\) le rayon de la base.
Volume d'une boule : \( \displaystyle V =\frac{4}{3}\pi R^{3}, \)
où \(R\) désigne le rayon de la boule.

Exercice 6 (Amérique du sud novembre 2014)

On considère le parallélépipède rectangle ABCDEFGH.
M est un point de [FG] et N un point de [EF].
On donne : FE = 15 cm ; FG = 10 cm ; FB = 5 cm ; FN = 4 cm ; FM = 3 cm.

1) Démontrer que l’aire du triangle FNM est égal à 6 cm².
2) Calculer le volume de la pyramide de sommet B et de base le triangle FNM.
On rappelle que le volume d’une pyramide : \(\displaystyle V=\frac{B \times h}{3}\) où \(B\) est l'aire de la base et \(h\) la hauteur de la pyramide.
3) On considère le solide ABCDENMGH obtenu en enlevant la pyramide précédente au parallélépipède rectangle.

a) Calculer son volume.
b) On appelle caractéristique d’Euler d’un solide le nombre \(x\) tel que :
\( x=\text{ nombre de faces }\) \(- \text{ nombre d'arêtes }\) \(+\text{ nombre de sommets}\)
Recopier et compléter le tableau suivant :

	Parallélépipède ABCDEFGH	Solide ABCDENMGH
Nombre de faces
Nombre d'arêtes
Nombre de sommets
Caractéristique \(x\)

Exercice 7 (Amérique du nord juin 2012)

On considère un sablier composé de deux cônes identiques de même sommet C et dont le rayon de la base est AK = 1,5 cm. Pour le protéger, il est enfermé dans un cylindre de hauteur 6 cm et de même base que les deux cônes.

1) On note \(V\) le volume du cylindre et \(V_1\) le volume du sablier. Tous les volumes seront exprimés en cm³.

a) Montrer que la valeur exacte du volume \(V\) du cylindre est \(13.5\pi\).
b) Montrer que la valeur exacte de \(V_{1}\) est \(4.5\pi\).
c) Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il ?
(On donnera le résultat sous la forme d’une fraction irréductible).

Rappel : La formule du volume du cône est : \(\displaystyle \frac{\text{aire de la base} \times \text{ hauteur}}{3}\).
2) On a mis 12 cm³ de sable dans le sablier.
Sachant que le sable va s’écouler d’un cône à l’autre avec un débit de 240 cm³/h, quel temps sera mesuré par ce sablier ?

Exercice 8 (Nouvelle-Calédonie décembre 2012)

La figure ci-dessous représente la situation. Cette figure n’est pas en vraie grandeur.

1) Calculer le volume en m³ d’une boule de rayon 5 m. Donner l’arrondi à l’unité près.
On rappelle la formule du volume d’une boule de rayon \(R\) : \(\displaystyle V_{\text{ boule}}=\frac{4\times \pi \times R^{3}}{3}\).
2) En réalité, l’aquarium est implanté dans le sol. La partie supérieure (visible aux visiteurs) est une "calotte sphérique". La partie inférieure (enfouie) abrite les machines.

a) Quelle est la nature géométrique de la section entre le plan horizontal du sol et l’aquarium (la partie grisée sur la figure) ?
b) Le point O désigne le centre de la sphère. On donne les dimensions réelles suivantes :
OH = 3m ; RO = 5m ; HR = 4m, où H et R sont les points placés sur le sol comme sur la figure.
Le triangle OHR est-il rectangle ? Justifier.

a) T est un point de la sphère tel que les points T, O, H soient alignés comme sur la figure.
Calculer la hauteur HT de la partie visible de l’aquarium.
b) Le volume d’une calotte sphérique de rayon 5m est donné par la formule : \(\displaystyle V_{\text{calotte}}=\frac{\pi \times h^{2}}{3}\times (15-h)\) où \(h\) désigne sa hauteur (correspondant à la longueur HT sur la figure).
Calculer le volume en litres de cette calotte sphérique.
c) Pour cette question, on prendra comme volume de l’aquarium 469 000 litres.
Des pompes délivrent à débit constant de l’eau de mer pour remplir l’aquarium vide. En 2 heures de fonctionnement, les pompes réunies y injectent 14 000 litres d’eau de mer.
Au bout de combien d’heures de fonctionnement, les pompes auront-elles rempli l’aquarium?

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