CORRECTION DES EXERCICES SUR LA GEOMETRIE DANS L'ESPACE*

EXERCICES D'ENTRAINEMENT

Exercice 1

1) La section d'une sphère par un plan peut-être un cercle, ou un point si le plan est tangent à la sphère.
2) La section d'un cube par un plan parallèle à une de ses faces est un carré.
3) La section d'un cylindre par un plan parallèle à son axe est un rectangle.
4) La section d'un cône par un plan parallèle à sa base est un disque de diamètre inférieur à celui de la base du cône.
5) La section d'un parallélépipède rectangle par un plan est un rectangle.

Exercice 2

1) Calcul du volume du cône :
\begin{align*}
V_{\text{c\^one}}&=\frac{\pi r^{2} h}{3}\\
&=\frac{\pi \times AC^{2} \times AB}{3}\\
&=\frac{\pi \times 4^{2} \times 9}{3}\\
&=48\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 150.8 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

2) Calcul du volume du pavé droit :
\begin{align*}
V_{ABCDEGHI}&=L \times l \times h\\
&=BC \times AB \times CH\\
&=8 \times 4 \times 8\\
&=256 \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
\end{align*}

3) Calcul du volume de la pyramide :
\begin{align*}
V_{FABCD}&=\frac{\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}}{3}\\
&=\frac{AB \times AD \times FE}{3}\\
&=\frac{4 \times 8 \times 9}{3}\\
&=96 \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
\end{align*}

4) Calcul du volume du cube :
\begin{align*}
V_{ABCDEFGH}&=AB^{3}\\
&=4^{3}\\
&=64 \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
\end{align*}

Exercice 3

1) Calcul du volume du cylindre :
\begin{align*}
V_{\text{cylindre}}&=\pi r^{2} h\\
&=\pi \times AC^{2} \times AB\\
&=\pi \times 2^{2} \times 4\\
&=16\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 50.27 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

2) Calcul du volume du cône :
\begin{align*}
V_{\text{c\^one}}&=\frac{\pi r^{2} h}{3}\\
&=\frac{\pi \times AC^{2} \times AB}{3}\\
&=\frac{\pi \times 2^{2} \times 4}{3}\\
&=\frac{16}{3}\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 16.76 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

3) Volume de la sphere
\begin{align*}
V_{\text{sph\`ere}}&=\frac{4}{3} \times \pi \times r^{3}\\
&=\frac{4}{3} \times \pi \times AB^{3}\\
&=\frac{4}{3} \times \pi \times 4^{3}\\
&=\frac{256}{3}\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 268.08 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

Exercice 4

Le diamètre d'un ballon de football est de 22 cm.
1) Le diamètre est de 22 cm donc le rayon est de 11 cm.
En utilisant la formule du cours, la superficie de tissu nécessaire pour fabriquer un ballon de football est égale à :
\begin{align*}
A_{\text{sph\`ere}}&=4 \pi \times r^{2}\\
&=4 \pi \times 11^{2}\\
&=484 \pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 1520.53 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

2) Calculer du volume du ballon :
\begin{align*}
V_{\text{sph\`ere}}&=\frac{4}{3} \times \pi \times r^{3}\\
&=\frac{4}{3} \times \pi \times 11^{3}\\
&=\frac{5324}{3}\pi \text{ cm}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 5575.28 \text{ cm}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}


Exercice 5

1) Calcul du volume de la Terre :
\begin{align*}
V_{\text{Terre}}&=\frac{4}{3} \times \pi \times r^{3}\\
&=\frac{4}{3} \times \pi \times 6371^{3}\\
&\approx 1.083 \times 10^{12} \text{ km}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

2) Calcul du volume du Soleil :
\begin{align*}
V_{\text{Soleil}}&=\frac{4}{3} \times \pi \times r^{3}\\
&=\frac{4}{3} \times \pi \times 695700^{3}\\
&\approx 1.41 \times 10^{18} \text{ km}^{3} \text{ valeur approch\'ee}\\
\end{align*}

3) On calcule le rapport :
\begin{align*}
\frac{V_{\text{Soleil}}}{V_{\text{Terre}}}&\approx\frac{1.41 \times 10^{18} }{1.083 \times 10^{12}}\\
&\approx 1301939
\end{align*}
Le soleil est volumineux comme plus d'1,3 million de planète Terre !

Exercice 6

Volume du cylindre :
\begin{align*}
V_{\text{cylindre}}&=\pi r^{2} h\\
&=\pi \times AD^{2} \times AB\\
&=\pi \times 3^{2} \times 6\\
&=54\pi \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\
\end{align*}

Volume du cône :
\begin{align*}
V_{\text{c\^one}}&=\frac{\pi r^{2} h}{3}\\
&=\frac{\pi \times AD^{2} \times AC}{3}\\
&=\frac{\pi \times 3^{2} \times 5}{3}\\
&=15\pi \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\
\end{align*}

Le volume du réservoir est par conséquent égal à :
\begin{align*}
V&= V_{\text{cylindre}}+V_{\text{c\^one}}\\
&=54\pi + 15\pi\\
&=69\pi \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\
&\approx 216.77 \text{ m}^{3} \text{ valeur exacte}\\
\end{align*}
Le volume du réservoir est approximativement de 216.77 m3.

Exercice 7

Le diamètre de la sphère est de 10 cm donc son rayon est de 5 cm.
En faisant un graphique :

B et D sont deux points de la sphère donc AB = AD = 5 cm.
C est placé tel qu'il soit à 3 cm du centre de la sphère donc AC = 3 cm.
Le triangle ACD est rectangle en C donc nous avons d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}\\
&CD^{2}=AD^{2}-AC^{2}\\
&CD^{2}=5^{2}-3^{2}\\
&CD^{2}=25-9\\
&CD^{2}=16\\
&CD=\sqrt{16}\\
&CD=4 \text{ cm}
\end{align*}
Par conséquent, la section d'une sphère de diamètre 10 cm par un plan situé à 3 cm de son centre est un cercle de rayon 4 cm :


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