EXERCICES SUR LES EQUATIONS*** CORRECTION

EXERCICES DE BREVET

Exercice 1 (Polynésie septembre 2012)

1)
a) Lorsque le nombre de départ est 4 :
(4 + 1)2 - 16 = 52 - 16 = 25 - 16 = 9
On trouve 9 comme résultat.

b) Lorsque le nombre de départ est (-3) :
(-3 + 1)2 - 16 = (-2)2 - 16 = 4 - 16 = -12
On trouve -12 comme résultat.

c) Lorsque le nombre de départ est :
P = ( + 1)2 - 16

d) Développement de P :
P = ( + 1)2 - 16
P = 2 + 2 + 1 - 16
P = 2 + 2 - 15

2) Développement de ( - 3)( + 5) :
( - 3)( + 5) = 2 + 5 - 3 - 15 = 2 + 2 - 15 = P
On a donc bien P = ( - 3)( + 5).

3) Pour que le résultat obtenu soit 0, on doit résoudre l'équation P = 0, c'est à dire ( - 3)( + 5) = 0.
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :

Cette équation admet deux solutions : 3 et -5.
Pour que le résultat final soit 0, on doit choisir 3 ou -5.

Exercice 2 (Centres étrangers Liban juin 2010)

1) Avec le programme B et en prenant 5 comme nombre de départ :
(5 - 7)2 = (-2)2 = 4

2) Avec le programme A et en prenant -2 comme nombre de départ :
(-2 + 5)2 = 32 = 9

3)
a) Si on appelle le nombre de départ du programme A, le résultat obtenu est ( + 5)2.
Pour que le résultat soit nul, il faut résoudre l'équation suivante :
( + 5)2 = 0
( + 5) ( + 5) = 0
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. Comme les deux facteurs sont identiques, on doit avoir :
+ 5 = 0 soit = -5.
Pour que le résultat avec le programme A soit nul, on doit choisir -5.

b) Si on appelle le nombre de départ du programme B, le résultat obtenu est ( - 7)2.
Pour que le résultat soit égal à 9, il faut résoudre l'équation suivante :
( - 7)2 = 9
( - 7)2 - 9 = 0
( - 7)2 - 32 = 0
( - 7 - 3) ( - 7 + 3) = 0
( - 10) ( - 4) = 0
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
- 10 = 0            ou           - 4 = 0
= 10                                 = 4
Pour que le résultat avec le programme B soit égal à 9, on doit choisir 10 ou 4.

4) Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on doit avoir :
( + 5)2 = ( - 7)2
( + 5)2 - ( - 7)2 = 0
On reconnait l'identité remarquable a2 - b2 = (a + b)(a - b)
( + 5 + - 7)( + 5 - ( - 7)) = 0
(2 - 2)( + 5 -  + 7) = 0
12(2 - 2) = 0
Ce produit est nul si :
2 - 2 = 0
2 = 2
= 1
Pour que les deux programmes donnent le même résultat, il faut que le nombre de départ soit 1.

Exercice 3 (France métropolitaine juin 2010)

1)
a) Lorsque le nombre de départ est 2, on obtient comme résultat :
(2 × (-2) + 5) × 5 = (-4 + 5) × 5 = 1 × 5 = 5

b) Lorsque le nombre de départ est 3, on obtient comme résultat :
(3 × (-2) + 5) × 5 = (-6 + 5) × 5 = (-1) × 5 = -5

2) Si on appelle le nombre de départ, alors le résultat est donné par :
( × (-2) + 5) × 5 = (-2 + 5) × 5 = 25 - 10
Si on souhaite obtenir 0, alors on doité résoudre l'équation suivante :
25 - 10 = 0
10 = 25
= 2,5
Cette équation admet une unique solution : 2,5. Si on souhaite que le résultat soit nul, on doit donc choisir 2,5.

3) Si on développe cette expression, on obtient :
( - 5)2 - 2 = 2 - 10 + 25 - 2 = 25 - 10
On remarque que l'on obtient la même expression qu'à la question 2.
Par conséquent, Arthur a raison.

Exercice 4 (Nouvelle-Calédonie décembre 2010)

1) Si on choisit 3 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :

Si on choisit 10 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :

Il semble que le résultat obtenu soit égal au carré du nombre de départ.

2)
a) Si on choisit 9 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :

On obtient une fois de plus le carré du nombre de départ.

b) Si le résultat est 36, comme c'est le carré de 6, on peut s'attendre à ce que le nombre choisi au départ soit 6.

3) Si on prend comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :

On trouve que le résultat obtenu (2) est bien le carré du nombre de départ .
Correction des exercices de brevet sur les équations
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