EQUATIONS
Correction des exercices ***

Exercice 1 (Polynésie septembre 2012)

1)
a) Lorsque le nombre de départ est 4 :
\begin{align*} (4+1)^{2}-16&=5^{2}-16\\ &=25-16\\ &=9\\ \end{align*}
On trouve 9 comme résultat.

b) Lorsque le nombre de départ est -3 :
\begin{align*} (-3+1)^{2}-16&=(-2)^{2}-16\\ &=4-16\\ &=-12\\ \end{align*}
On trouve -12 comme résultat.

c) Lorsque le nombre de départ est x :
P=(x+1)^{2}-16

d) Développement de P :
\begin{align*} P&=(x+1)^{2}-16\\ &=x^{2}+2x+1-16\\ &=x^{2}+2x-15 \end{align*}

2) Développement de (x-3)(x+5)
\begin{align*} (x-3)(x+5)&=x^{2}+5x-3x-15\\ &=x^{2}+2x-15\\ &=P \end{align*}
On a donc bien P=(x-3)(x+5).
3) Pour que le résultat obtenu soit 0, on doit résoudre l'équation P=0, c'est à dire (x-3)(x+5)=0.
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} x-3=0 \qquad & x+5=0\\ x=3 \qquad & x=-5 \end{align*}
Cette équation admet deux solutions : 3 et -5.
Pour que le résultat final soit 0, on doit choisir 3 ou -5.

Exercice 2 (Centres étrangers Liban juin 2010)

1) Avec le programme B et en prenant 5 comme nombre de départ :
(5-7)^{2}=(-2)^{2}=4

2) Avec le programme A et en prenant -2 comme nombre de départ :
(-2+5)^{2}=3^{2}=9

3)
a) Si on appelle x le nombre de départ du programme A, le résultat obtenu est (x+5)^{2}.

Pour que le résultat soit nul, il faut résoudre l'équation suivante :
(x+5)^{2}=0
(x+5)(x+5)=0
Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. Comme les deux facteurs sont identiques, on doit avoir :
x+5=0 soit x=-5.
Pour que le résultat avec le programme A soit nul, on doit choisir -5.

b) Si on appelle x le nombre de départ du programme B, le résultat obtenu est (x-7)^{2}.
Pour que le résultat soit égal à 9, il faut résoudre l'équation suivante :
\begin{align*} &(x-7)^{2}=9\\ &(x-7)^{2}-9=0\\ &(x-7)^{2}-3^{2}=0\\ &(x-7-3)(x-7+3)=0\\ &(x-10)(x-4)=0 \end{align*}

Ce produit de facteurs est nul si au moins un de ses facteurs est nul. On a donc :
\begin{align*} x-10=0 \qquad & x-4=0\\ x=10 \qquad & x=4 \end{align*}
Pour que le résultat avec le programme B soit égal à 9, on doit choisir 10 ou 4.

4) Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on doit avoir :
(x+5)^{2}=(x-7)^{2}
(x+5)^{2}-(x-7)^{2}=0
On reconnait l'identité remarquable a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)
\begin{align*} &(x+5+x-7)(x+5-(x-7))=0\\ &(2x-2)(x+5-x+7)=0\\ &12(2x-2)=0 \end{align*}
Ce produit est nul si :
\begin{align*} &2x-2=0\\ &2x=2\\ &x=1 \end{align*}
Pour que les deux programmes donnent le même résultat, il faut que le nombre de départ soit 1.

Exercice 3 (France métropolitaine juin 2010)

1)
a) Lorsque le nombre de départ est 2, on obtient comme résultat :
\begin{align*} (2\times (-2)+5)\times 5&=(-4+5)\times 5\\ &=1\times 5\\ &= 5 \end{align*}

b) Lorsque le nombre de départ est 3, on obtient comme résultat :
\begin{align*} (3\times (-2)+5)\times 5 &=(-6+5)\times 5\\ &=(-1)\times 5 \\ &= -5 \end{align*}

2) Si on appelle x le nombre de départ, alors le résultat est donné par :
\begin{align*} (x\times (-2)+5)\times 5 &=(-2x+5)\times 5\\ &=25-10x \end{align*}
Si on souhaite obtenir 0, alors on doité résoudre l'équation suivante :
\begin{align*} &25-10x=0\\ &10x=25\\ &x=2.5 \end{align*}
Cette équation admet une unique solution : 2,5. Si on souhaite que le résultat soit nul, on doit donc choisir 2,5.

3) Si on développe cette expression, on obtient :
\begin{align*} (x-5)^{2}-x^{2}&=x^{2}-10x+25-x^{2}\\ &=25-10x \end{align*}
On remarque que l'on obtient la même expression qu'à la question 2.
Par conséquent, Arthur a raison.

Exercice 4 (Nouvelle-Calédonie décembre 2010)

1) Si on choisit 3 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :
\frac{(3^{2}+3)\times 2-6}{2}=9
Si on choisit 10 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :
\frac{(10^{2}+3)\times 2-6}{2}=100
Il semble que le résultat obtenu soit égal au carré du nombre de départ.

2)
a) Si on choisit 9 comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :
\frac{(9^{2}+3)\times 2-6}{2}=81
On obtient une fois de plus le carré du nombre de départ.

b) Si le résultat est 36, comme c'est le carré de 6, on peut s'attendre à ce que le nombre choisi au départ soit 6.

3) Si on prend x comme nombre de départ, alors le résultat obtenu est :
\begin{align*} \frac{(x^{2}+3)\times 2-6}{2}&=\frac{2x^{2}+6-6}{2}\\ &=\frac{2x^{2}}{2}\\ &=x^{2} \end{align*}
On trouve que le résultat obtenu x^{2} est bien le carré du nombre de départ x.
Correction des exercices de brevet sur les équations du premier degré pour la troisième (3ème)
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