CORRECTION DU BREVET CENTRES ETRANGERS 2016

CORRECTION DU BREVET CENTRES ETRANGERS JUIN 2016

Exercice 1 (3 points)

1) Réponse B.
Le triangle ABC est rectangle en A donc nous avons :
\tan{\widehat{ABC}}=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a }\widehat{ABC}}{\text{c\^ot\'e adjacent \`a }\widehat{ABC}}=\frac{AC}{AB}=\frac{7}{5}
D'après la calculatrice :
\tan^{-1}\left(\frac{7}{5}\right)\approx 54.46^{\circ}
\widehat{ABC} mesure approximativement 54°.

2) Réponse B.
On doit résoudre l'équation suivante :
\begin{align*}
&3x-2=8\\
&3x=8+2\\
&3x=10\\
&x=\frac{10}{3}\\
&x \approx 3.33
\end{align*}
3.33 est compris entre 3 et 4.

3) Réponse A.
\frac{1-(-4)}{-2+9}=\frac{1+4}{-2+9}=\frac{5}{7}
Remarque : la réponse C est fausse car il ne s'agit que d'une valeur approchée, or il était demandé la valeur exacte.

Exercice 2 (4 points)

Affirmation 1 :
Calcul du prix au bout d'un an :
25\times \left(1+\frac{5}{100}\right)=26.25
A bout d'un an, le prix sera de 26€25.
Le prix au bout de deux ans est le prix au bout d'un an qui a augmenté de 5% :
26.25\times \left(1+\frac{5}{100}\right)=27.5625\neq 27.50
Au bout de deux ans le prix est de 27€5625. Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 :
Si une boutique utilise en moyenne 4 kg de sucre par jour, elle utilisera environ 1,46 × 106 grammes de sucre en une année.
Quantité de sucre utilisée au bout d'un an :
4 × 365 = 1 460 kilogrammes = 1 460 000 grammes = 1,46 × 106 grammes
L'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 :
Transformons 12 minutes en heure(s) :
12\text{ min} = \frac{12}{60}\text{ heure}=0.2\text{ heure}
Calcul de la vitesse moyenne :
v=\frac{d}{t}=\frac{12.5}{0.2}=62.5\text{ km/h}
Le livreur n'a pas respecté la limitation de vitesse puisqu'il a roulé à 62.5 km/h en moyenne alors que la limite est de 50 km/h. L'affirmation 3 est donc fausse.

Exercice 3 (5 points)



1) En I2, on doit saisir une des deux formules suivantes :
=SOMME(B2:H2)
=B2+C2+D2+E2+F2+G2+H2

2) Calculer le nombre moyen de macarons vendus par jour. Arrondir le résultat à l’unité.
Nombre moyen de macarons vendus par jour :
\frac{324+240+310+204+318+386+468}{7}=\frac{2250}{7}\approx 321
En moyenne, 321 macarons ont été vendus chaque jour.

3) On doit d'abord ranger la série par ordre croissant :
204 - 240 - 310 - 318 - 324 - 386 - 468
Il y a sept valeurs, la médiane est donc la quatrième valeur, égale à 318.
La médiane est de 318 macarons.

4) 468 - 204 = 264
Il s'agit de la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série statistique ; c'est donc l'étendue de la série.

Exercice 4 (5 points)

présentoir macaron schéma
Il faut calculer la hauteur OS et vérifier qu'elle est inférieure à 50 cm.
Calculons d'abord la longueur AC.
Le triangle ABC est isocèle rectangle en B donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\\
&AC^{2}=30^{2}+30^{2}\\
&AC^{2}=900+900\\
&AC^{2}=1800\\
&AC=\sqrt{1800}\\
&AC=\sqrt{900\times 2}\\
&AC=\sqrt{900}\times \sqrt{2}\\
&AC=30\sqrt{2} \text{ valeur exacte}
\end{align*}

Les diagonales du carré ABCD se coupent en leur milieu, donc nous avons :
OC=\frac{AC}{2}=\frac{30\sqrt{2}}{2}=15\sqrt{2}

Le triangle OCS est rectangle en O donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&OS^{2}+OC^{2}=SC^{2}\\
&OS^{2}=SC^{2}-OC^{2}\\
&OS^{2}=55^{2}-\left(15\sqrt{2}\right)^{2}\\
&OS^{2}=55^{2}-15^{2}\times (\sqrt{2})^{2}\\
&OS^{2}=55^{2}-225\times 2\\
&OS^{2}=3025-450\\
&OS^{2}=2575\\
&OS=\sqrt{2575}\\
&OS \approx 50.74\text{ cm}
\end{align*}
La hauteur de la pyramide (50.74 cm) étant supérieure à la hauteur de la vitrine (50 cm), on ne pourra pas placer ce présentoir dans la vitrine réfrigérée.

Exercice 5 (3 points)

Il y a au total deux boîtes de 12 macarons, soit 24 macarons.
Soit x le nombre de macarons mangés par Pascale.
On sait qu'Alexis a mangé 4 macarons de plus que Pascale, donc Alexis en a mangé 4+x.
Pascale a mangé x macarons par définition.
Pascale a mangé deux fois moins de macarons que Carole, ce qui veut dire que Carole a mangé deux fois plus de macarons que Pascale, soit 2x.
Pour connaître x, il nous faut résoudre l'équation suivante :
\begin{align*}
&4+x+x+2x=24\\
&4+4x=24\\
&4x=24-4\\
&4x=20\\
&x=\frac{20}{4}\\
&x=5
\end{align*}
x étant égal à 5 macarons, on en déduit la consommation de chaque personne :
Pascal : x+4=5+4=9 macarons
Pascale : x=5 macarons
Carole : 2x=2\times 5=10 macarons

Exercice 6 (3 points)

1) Probabilité qu'un macaron de la boîte n°1 soit au café :
\frac{\text{Nombre de macarons au caf\'e}}{\text{Nombre total de macarons}}=\frac{3}{4+3+2+3}=\frac{3}{12}=0.25
La probabilité de prendre un macaron au café est de 0.25.

2) On peut représenter ce tirage sous la forme d'un arbre de probabilités :

Il n'y a qu'une seule possibilité pour qu'elle obtienne deux macarons qui lui plaisent : il faut qu'elle tire un macaron au café dans la boîte n°1 et un macaron à la fraise dans la boîte n°2. Cette probabilité est égale à :
\frac{2}{5}\times \frac{1}{3}=\frac{2}{15}

Exercice 7 (3 points)

1) Calcul du volume du cylindre :
\begin{align*}
V&=\text{Aire de la base}\times \text{hauteur}\\
&=\pi r^{2}h\\
&=\pi \times 20^{2}\times 5\\
&=\pi \times 400\times 5\\
&=2000\pi\text{ mm}^{3}\text{ valeur exacte}
\end{align*}
Le volume de crème contenu dans un macaron est 2 000\pi mm3.

2) Sachant que 1 L = 1 dm3, nous avons 30 cL = 0.30 L = 0.30 dm3 = 300 cm3 = 300 000 mm3 de crème.
Nombre de macarons qu'Alexis pourra confectionner :
\frac{300000}{2000\pi}\approx 47.75
Il pourra confectionner 47 macarons avec 30 cL de crème (il ne pourra pas faire de 48ème macaron puisqu'il lui manque de la crème).

Exercice 8 (5 points)


1) Etant donné que la représentation graphique n'est pas une droite, la température du four n'est pas proportionnelle au temps.

2) Au bout de trois minutes, la température est approximativement de 70°C.

3) A la deuxième minute, la température est de 50°C. A la septième minute, la température est de 140°C. Par conséquent, la température a augmenté de 140 - 50 = 90°C entre la deuxième et la septième minute.

4) La température de 150°C est atteinte pour la première fois à la huitième minute.

5) Passé les 8 premières minutes, la température n'est pas constante à 150°C. En effet, on observe qu'elle passe au-dessus, puis en-dessous, puis à nouveau au-dessus de 150°C, ce qui explique que le responsable n'est pas satisfait de la cuisson de ses macarons.

Exercice 9 (5 points)

Lorsque le nombre de boîtes identiques commandé est supérieur à 6, Norbert a le droit à 20% de réduction. C'est le cas pour les macarons au chocolat et à la vanille. Calculons pour ces deux parfums le prix de chaque boîte après réduction.
Prix d'une boîte de 12 petits macarons au chocolat ou à la vanille après réduction :
16\times \left(1-\frac{20}{100}\right)= 12.80\euro

Calcul du montant total commandé en macarons :
10\times12.80+10\times12.80+5\times16+2\times16+1\times9=377\euro
Norbert a commandé pour 377€ de macarons.

Calcul des frais de livraison :
402-377=25\euro
Norbert a payé 25€ de frais de livraison.

Etant donné qu'il s'est fait livré les macarons un samedi, l'adresse de livraison se trouve dans la zone B.
Correction du brevet des collèges Centres étrangers 14 juin 2016
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