CALCUL NUMERIQUE
Correction des exercices **

Exercice 1

\begin{align*} A&=\frac{1-\frac{1}{3}}{\frac{3}{2}}\times \frac{3}{4}-\frac{3}{5}\\ &=\frac{\displaystyle\frac{2}{3}}{\displaystyle\frac{3}{2}}\times \frac{3}{4}-\frac{3}{5}\\ &=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{3}{4}-\frac{3}{5}\\ &=\frac{2\times 2\times 3}{3\times 3\times 4}-\frac{3}{5}\\ &=\frac{\color{red}2\times 2\times 3}{3\times {\color{red}3\times 4}}-\frac{3}{5}\\ &=\frac{1}{3}-\frac{3}{5}\\ &=\frac{1\times 5}{3 \times 5}-\frac{3 \times 3}{5 \times 3}\\ &=\frac{5}{15}-\frac{9}{15}\\ &=\frac{5-9}{15}\\ &=-\frac{4}{15} \end{align*}

\begin{align*} B&=\frac{2}{5}+\frac{5}{12}-\frac{1}{15}\\ &=\frac{2}{5}-\frac{1}{15}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{2\times 3}{5\times 3}-\frac{1}{15}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{6}{15}-\frac{1}{15}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{6-1}{15}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{5}{15}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{{\color{red}5}\times 1}{{\color{red}5}\times 3}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{1}{3}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{1\times 4}{3\times 4}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{4}{12}+\frac{5}{12}\\ &=\frac{4+5}{12}\\ &=\frac{9}{12}\\ &=\frac{3}{4} \end{align*}

\begin{align*} C&=\frac{5}{6}-\frac{11}{6}\times \frac{3}{8}\\ &=\frac{5}{6}-\frac{11\times 3}{6\times 8}\\ &=\frac{5}{6}-\frac{11{\color{red}\times 3}}{{\color{red}3}\times 2\times 8}\\ &=\frac{5}{6}-\frac{11}{16}\\ &=\frac{5\times 8}{6\times 8}-\frac{11\times 3}{16\times 3}\\ &=\frac{40}{48}-\frac{33}{48}\\ &=\frac{40-33}{48}\\ &=\frac{7}{48} \end{align*}

\begin{align*} D&=\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{5}{6}\\ &=\frac{7}{3}+\frac{2\times 5}{3\times 6}\\ &=\frac{7}{3}+\frac{{\color{red}2} \times 5}{3\times 3 {\color{red} \times 2}}\\ &=\frac{7}{3}+\frac{5}{9}\\ &=\frac{7\times 3}{3\times 3}+\frac{5}{9}\\ &=\frac{21}{9}+\frac{5}{9}\\ &=\frac{21+5}{9}\\ &=\frac{26}{9} \end{align*}

Exercice 2

\begin{align*} A&=\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{3}}}\\ &=\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}}\\ &=\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{4}{3}}}\\ &=\frac{1}{1+\displaystyle\frac{3}{4}}\\ &=\frac{1}{\displaystyle\frac{4}{4}+\displaystyle\frac{3}{4}}\\ &=\frac{1}{\displaystyle\frac{7}{4}}\\ &=\frac{4}{7} \end{align*}

\begin{align*} B&=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ &=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle \frac{4}{2}-\displaystyle \frac{1}{2}}}}\\ &=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle \frac{3}{2}}}}\\ &=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{1}{2-\displaystyle\frac{2}{3}}}\\ &=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{6}{3}-\displaystyle\frac{2}{3}}}\\ &=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{4}{3}}}\\ &=\frac{2}{2-\displaystyle\frac{3}{4}}\\ &=\frac{2}{\displaystyle\frac{8}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}}\\ &=\frac{2}{\displaystyle\frac{5}{4}}\\ &=2\times \frac{4}{5}\\ &=\frac{8}{5} \end{align*}

Exercice 3

Donner l'écriture scientifique des nombres suivants :
\begin{align*} A&=\frac{7\times 10^{35}}{56\times 10^{34}}\\ &=\frac{7}{56}\times \frac{10^{35}}{10^{34}}\\ &=0.125\times 10^{35-34}\\ &=0.125\times 10^{1}\\ &=1.25\times 10^{-1}\times 10^{1}\\ &=1.25\times 10^{-1+1}\\ &=1.25\times 10^{0} \end{align*}

\begin{align*} B&=\frac{35\times 10^{22}\times 3\times \left(10^{-2}\right)^{6}}{42\times 10^{10}}\\ &=\frac{35\times 3}{42}\times \frac{10^{22}\times \left(10^{-2}\right)^{6}}{10^{10}}\\ &=2.5\times \frac{10^{22}\times 10^{-2\times 6}}{10^{10}}\\ &=2.5\times \frac{10^{22}\times 10^{-12}}{10^{10}}\\ &=2.5\times 10^{22+(-12)-10}\\ &=2.5\times 10^{0} \end{align*}

\begin{align*} C&=\frac{6\times 10^{8}\times 1.6\times 10^{13}}{0.4\times 10^{14}}\\ &=\frac{6\times 1.6}{0.4}\times \frac{10^{8}\times 10^{13}}{10^{14}}\\ &=24\times 10^{8+13-14}\\ &=24\times 10^{7}\\ &=2.4\times 10^{1}\times 10^{7}\\ &=2.4\times 10^{1+7}\\ &=2.4\times 10^{8} \end{align*}

\begin{align*} D&=\frac{7\times \left(10^{5}\right)^{2}\times 10^{-3}}{35\times 10^{3}}\\ &=\frac{7}{35}\times \frac{\left(10^{5}\right)^{2}\times 10^{-3}}{10^{3}}\\ &=0.2\times \frac{10^{5\times 2}\times 10^{-3}}{10^{3}}\\ &=0.2\times \frac{10^{10}\times 10^{-3}}{10^{3}}\\ &=0.2\times 10^{10+(-3)-3}\\ &=0.2\times 10^{4}\\ &=2\times 10^{-1}\times 10^{4}\\ &=2\times 10^{-1+4}\\ &=2\times 10^{3}\\ \end{align*}

\begin{align*} E&=\frac{1.6\times 10^{-12}}{4\times 10^{-9}}\\ &=\frac{1.6}{4}\times \frac{10^{-12}}{10^{-9}}\\ &=0.4\times 10^{-12-(-9)}\\ &=0.4\times 10^{-12+9}\\ &=0.4\times 10^{-3}\\ &=4\times 10^{-1}\times 10^{-3}\\ &=4\times 10^{-1+(-3)}\\ &=4\times 10^{-4} \end{align*}

\begin{align*} F&=\frac{5\times 10^{8}\times 6\times 10^{3}}{2\times \left(10^{-4}\right)^{3}}\\ &=\frac{5\times 6}{2}\times \frac{10^{8}\times 10^{3}}{\left(10^{-4}\right)^{3}}\\ &=15\times \frac{10^{8}\times 10^{3}}{10^{-4\times 3}}\\ &=15\times \frac{10^{8}\times 10^{3}}{10^{-12}}\\ &=15\times 10^{8+3-(-12)}\\ &=15\times 10^{23}\\ &=1.5\times 10^{1}\times 10^{23}\\ &=1.5\times 10^{1+23}\\ &=1.5\times 10^{24} \end{align*}

\begin{align*} G&=\frac{2\times 10^{9}\times 7\times 10^{-6}}{35\times 10^{2}}\\ &=\frac{2\times 7}{35}\times \frac{10^{9}\times 10^{-6}}{10^{2}}\\ &=0.4\times 10^{9+(-6)-2}\\ &=0.4\times 10^{1}\\ &=4\times 10^{-1}\times 10^{1}\\ &=4\times 10^{-1+1}\\ &=4\times 10^{0} \end{align*}

\begin{align*} H&=\frac{3\times 10^{8}\times 4\times 10^{-5}}{6\times 10^{7}}\\ &=\frac{3\times 4}{6}\times \frac{10^{8}\times 10^{-5}}{10^{7}}\\ &=2\times 10^{8+(-5)-7}\\ &=2\times 10^{-4} \end{align*}

Exercice 4

Calculs lorsque les nombres de départ sont respectivement 5, -2 et :
\begin{align*} &\left(5+\frac{5}{2}\right)\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\left(\frac{10}{2}+\frac{5}{2}\right)\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{15}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{15}{6}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{5}{2}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{5\times 5}{2\times 5}-\frac{6\times 2}{5 \times 2}\\ &=\frac{25}{10}-\frac{12}{10}\\ &=\frac{25-12}{10}\\ &=\frac{13}{10} \end{align*}

\begin{align*} &\left(-2+\frac{5}{2}\right)\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\left(-\frac{4}{2}+\frac{5}{2}\right)\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{1}{6}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{1\times 5}{6\times 5}-\frac{6\times 6}{5 \times 6}\\ &=\frac{5}{30}-\frac{36}{30}\\ &=\frac{5-36}{30}\\ &=-\frac{31}{30} \end{align*}

\begin{align*} &\left(\frac{1}{4}+\frac{5}{2}\right)\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\left(\frac{1}{4}+\frac{10}{4}\right)\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{11}{4}\times \frac{1}{3}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{11}{12}-\frac{6}{5}\\ &=\frac{11\times 5}{12\times 5}-\frac{6\times 12}{5 \times 12}\\ &=\frac{55}{60}-\frac{72}{60}\\ &=\frac{55-72}{60}\\ &=-\frac{17}{60} \end{align*}

Correction des exercices d'application sur le calcul numérique (révisions) pour la troisième (3ème)
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