CALCUL NUMERIQUE
Cours

I) Règles de calcul sur les fractions

a, b, c et d sont quatre nombres tels que c\neq 0 et d\neq 0.

A) Définitions


Exemple 1 :
\frac{12}{15}=\frac{12{\color{red}\div 3}}{15{\color{red}\div 3}}=\frac{4}{5}
On a divisé le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre entier 3. Le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue sont deux nombres entiers : 4 et 5.
Lorsqu’on a simplifié une fraction au maximum, c'est-à-dire lorsqu’on ne peut plus diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par un entier pour obtenir à nouveau deux nombres entiers, on dit que la fraction est irréductible.
Dans l’exemple précédent,  est une fraction irréductible.

B) Propriétés

1) Addition de fractions

Exemple 2 :
\frac{3}{5}+\frac{6}{5}=\frac{3+6}{5}=\frac{9}{5}
Exemple 3 :
\begin{align*} \frac{3}{5}+\frac{7}{2}&=\frac{3{\color{red}\times 2}}{5{\color{red}\times 2}}+\frac{7{\color{green}\times 5}}{2{\color{green}\times 5}}\\ &=\frac{6}{10}+\frac{35}{10}\\ &=\frac{6+35}{10}\\ &=\frac{41}{10} \end{align*}

2) Multiplication de fractions

Exemple 4 :
\frac{2}{3}\times\frac{4}{7}=\frac{2\times 4}{3\times 7}=\frac{8}{21}

3) Division de fractions

Exemple 5 :
\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}=\frac{2\times 4}{3 \times 5}=\frac{8}{15}


II) Règles de calcul sur les puissances

A) Définitions

\begin{align*} &a^{0}=1\qquad & \\ &a^{1}=a \qquad & a^{-1}=\frac{1}{a}\\ &a^{2}=a\times a \qquad & a^{-2}=\frac{1}{a^{2}}\\ &a^{3}=a\times a \times a \qquad & a^{-3}=\frac{1}{a^{3}}\\ & ... & ... \\ & a^{n}=\underbrace{a\times a \times ... \times a}_{n\text{ facteurs}} \qquad & a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \end{align*}
Exemple 6 :
\begin{align*} &4^{0}=1\\ &3^{2}=3\times 3=9\\ &2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0.25 \end{align*}
Lorsque n est négatif, cela ne veut pas dire que a^{n} sera négatif ! Nous avons un exemple ci-dessus qui le démontre bien :
2^{-2}=\frac{1}{4}=0.25>0
Exemple 7 :
3 × 52 n’est pas un nombre écrit sous forme scientifique. En effet, on doit avoir des puissances de 10 ce qui n’est pas le cas ici (on a des puissances de 5).
0,7 × 103 n’est pas un nombre écrit sous forme scientifique. En effet, 0,7 n’appartient pas à l’intervalle [1 ; 10[.
5,3 × 10-3 est un nombre écrit sous forme scientifique. 5,5 appartient à l’intervalle [1 ; 10[ et on a des puissances de 10.

B) Propriétés

Soit m et n deux entiers relatifs et a et c deux nombres non nuls.

1) Multiplication de puissances

2) Quotient de puissances

3) Puissance de puissances

4) Produit de puissances de même exposant

Cours sur le calcul numérique (révisions) pour la troisième (3ème)
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