CORRECTION DES EXERCICES ANGLES INSCRITS, AU CENTRE ET POLYGONES REGULIERS *

EXERCICES D'ENTRAINEMENT

Exercice 1

1) L'angle inscrit \widehat{ACB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle au centre \widehat{AOB} donc nous avons\widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}. On en déduit :
\begin{align*}
\widehat{ACB}&=\frac{1}{2}\times \widehat{AOB}\\
&=\frac{1}{2}\times 45\\
&=22.5^{\circ}
\end{align*}
\widehat{ACB} mesure 22.5°.

2) L'angle inscrit \widehat{ACB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle inscrit \widehat{ADB}. Par conséquent, ils ont même mesure :
\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=45^{\circ}
\widehat{ACB} mesure 45°.

3) L'angle inscrit \widehat{ACB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle au centre \widehat{AOB} donc nous avons\widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}. On en déduit :
\begin{align*}
\widehat{ACB}&=\frac{1}{2}\times \widehat{AOB}\\
&=\frac{1}{2}\times 120\\
&=60^{\circ}
\end{align*}
\widehat{ACB} mesure 60°.

Exercice 2

1) L'angle inscrit \widehat{ACB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle au centre \widehat{AOB} donc nous avons :
\begin{align*}
\widehat{AOB}&=2\times \widehat{ACB}\\
&=2\times 30\\
&=60^{\circ}
\end{align*}
\widehat{A0B} mesure 60°.

2) L'angle inscrit \widehat{ACB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle au centre \widehat{AOB} donc nous avons\widehat{AOB}=2\times \widehat{ACB}. On en déduit :
\begin{align*}
\widehat{ACB}&=\frac{1}{2}\times \widehat{AOB}\\
&=\frac{1}{2}\times 150\\
&=75^{\circ}
\end{align*}
\widehat{ACB} mesure 75°.

3) L'angle inscrit \widehat{ADB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle inscrit \widehat{ACB}. Par conséquent, ils ont même mesure :
\widehat{ADB}=\widehat{ACB}=36^{\circ}
\widehat{ADB} mesure 36°.

Exercice 3

1) ABCDE est un pentagone régulier. La mesure de l'angle \widehat{AOB} vaut par conséquent :
\widehat{AOB}=\frac{360}{5}=72^{\circ}
\widehat{AOB} mesure 72°.

2) ABCDFGHE est un octogone régulier. La mesure de l'angle \widehat{AOB} vaut par conséquent :
\widehat{AOB}=\frac{360}{8}=45^{\circ}
\widehat{AOB} mesure 45°.

3) ABCDFE est un hexagone régulier. La mesure de l'angle \widehat{AOB} vaut par conséquent :
\widehat{AOB}=\frac{360}{6}=60^{\circ}
\widehat{AOB} mesure 60°.

Exercice 4

Les points A et B appartiennent au cercle de centre O donc nous avons OA = OB et le triangle OAB est isocèle en O.
D'autre part, l'angle au centre \widehat{AOB} intercepte le même arc de cercle \overset{\frown}{AB} que l'angle inscrit \widehat{ACB} donc nous avons :
\begin{align*}
\widehat{AOB}&=2\times \widehat{ACB}\\
&=2\times 30\\
&=60^{\circ}
\end{align*}
\widehat{AOB} mesure 60°.
Le triangle AOB est isocèle et possède en plus un angle de 60° ; par conséquent il est équilatéral.

Exercice 5

On trace tout d'abord un segment OA tel que OA= 5 cm, puis avec le compas le cercle de centre O et de rayon OA.
Etant donné qu'on demande de tracer un hexagone régulier (6 côtés de même longueur), la mesure de l'angle au centre vaut :
\widehat{AOB}=\frac{360}{6}=60^{\circ}
Et comme de plus, on a OA = OB = OC = OD = OE = OF et que les triangles OAB, OBC, OCD, ODE, OEF et OFA ont un angle qui vaut 60°, tous ces triangles sont équilatéraux. Ce qui signifie en d'autres termes que nous avons :
OA = AB = BC = CD = DE = EF = FA.
Il suffit avec le compas de prendre la longueur OA, mettre la pointe sèche en A puis reporter OA sur le cercle : on obtient le point B. Puis pointe sèche en B et on reporte à nouveau la longueur OA : on obtient le point C. Ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne le point F et la figure suivante :

Il suffit ensuite de relier les points A à F pour obtenir un hexagone régulier :

Correction des exercices d'entrainement sur les angles inscrits, angles au centre et polygones réguliers
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