CORRECTION DU BREVET AMERIQUE DU NORD 2016

CORRECTION DU BREVET AMERIQUE DU NORD JUIN 2016

Exercice 1 (6 points)

1) L'affirmation 1 est fausse (la solution n'est pas un entier).
Résolution de l'équation :
\begin{align*}
&5x+4=2x+17\\
&5x-2x=17-4\\
&3x=13\\
&x=\frac{13}{3}\\
&x\approx 4.33
\end{align*}

2) L'affirmation 2 est vraie.

Dans le triangle CDE, le côté le plus long est [DE].
\begin{align*}
&DE^{2}=(13\sqrt{7})^{2}=13^{2}\times (\sqrt{7})^{2}=169\times 7 = 1183\\
&CD^{2}+CE^{2}=(\sqrt{175})^{2}+(12\sqrt{7})^{2}=175+12^{2}\times (\sqrt{7})^{2}=175+144\times 7=1183
\end{align*}
Nous avons CD^{2}+CE^{2}=DE^{2} donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CDE est rectangle en C.

3) L'affirmation 3 est fausse : le pourcentage de remise est supérieur sur les lunettes que sur la montre.

Pourcentage de réduction sur les lunettes :
\frac{45-31.5}{45}=\frac{13.5}{45}=0.3=30\%
Pourcentage de réduction sur la montre :
\frac{56-42}{56}=\frac{14}{56}=0.25=25\%
Le pourcentage de remise est supérieur sur les lunettes que sur la montre.

Exercice 2 (4 points)

1)
a) Appelons N l'évènement "Prendre une piste noire", R l'évènement "Prendre une piste rouge" et B l'évènement "Prendre une piste bleue".
Il y a en tout cinq pistes, dont deux rouges. La probabilité de prendre une piste rouge est égale à :
P(R)=\frac{\text{Nombre de pistes rouges}}{\text{Nombre total de pistes}}=\frac{2}{5}=0.4
La probabilité de prendre une piste rouge est de 0.4.

b) Il y a en tout sept pistes, dont une bleue. La probabilité de prendre une piste bleue à partir du restaurant est égale à :
P(B)=\frac{\text{Nombre de pistes bleues}}{\text{Nombre total de pistes}}=\frac{1}{7}\approx 0.143
La probabilité de prendre une piste bleue est approximativement de 0.143.

2)

Dans un arbre de jeu, la probabilité d'une issue est égale au produit des probabilités des branches conduisant à cette issue. Ici, pour prendre deux pistes noires, il n'y a qu'une seule possibilité : la première piste doit être noire (avec probabilité 2/5) et la seconde doit être noire aussi (avec probabilité 3/7). Par conséquent, la probabilité qu'il enchaîne deux pistes noires est égale à :
\frac{2}{5}\times \frac{3}{7}=\frac{6}{35}
La probabilité qu'il enchaine deux pistes noires est de 6/35 (approximativement 0.17).

Exercice 3 (5 points)


1)
a) C'est le mois de février, avec 148901 forfaits journées vendus.

b) Nombre total de forfaits vendus durant la saison :
60457+60457+148901+100058+10035=379908
379 908 forfaits ont été vendus dans la saison.
Pourcentage de forfaits vendus en février :
\frac{148901}{379908}\approx 0.39\approx 39\%
39% étant supérieur à un tiers, Ninon a raison.

2) En G2, on doit saisir l'une des deux formules suivantes :
=SOMME(B2:F2)
=B2+C2+D2+E2+F2

3) La saison compte 5 mois.
Calcul du nombre moyen de forfaits « journée » vendus par la station en un mois :
\frac{60457+60457+148901+100058+10035}{5}=\frac{379908}{5}\approx 75982
Le nombre moyen de forfaits vendus par mois est d’environ 75 982.

Exercice 4 (4 points)


1) La durée d'ouverture du télésiège est de 7 heures (16-9=7). Le nombre maximum de passagers pouvant être transportés est égal à :
3000\times 7=21000
21000 passagers peuvent être transportés par ce télésiège par jour.

2) La vitesse est de 5.5 m/s et la distance est de 1453 m. Pour connaître le temps nécessaire :
\begin{align*}
&v=\frac{d}{t}\\
&t=\frac{d}{v}\\
&t=\frac{1453}{5.5}\\
&t\approx 264\text{ s arrondi \`a la seconde pr\`es}
\end{align*}
Transformons 264 secondes en minutes et secondes :
264 secondes = 4 minutes 24 secondes

3) Nous avons un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 1453 m et dont la hauteur est égale à la différence d'altitude, c'est-à-dire 2261 - 1839 = 422 mètres. Nous pouvons utiliser les formules trigonométriques pour déterminer l'angle formé avec l’horizontale par le câble de ce télésiège (appelons-le \widehat{A}) :
\begin{align*}
\sin\left(\widehat{A}\right)&=\frac{\text{c\^ot\'e oppos\'e \`a l'angle }\widehat{A}}{\text{hypot\'enuse}}\\
&=\frac{422}{1453}\\
&\approx 0.290
\end{align*}
D'après la calculatrice :
\widehat{A}=\sin^{-1}(0.290)\approx 17^{\circ}\text{ valeur arrondie au degr\'e pr\`es}
L’angle formé avec l’horizontale par le câble de ce télésiège mesure approximativement 17^{\circ}.

Exercice 5 (5 points)

1)
a) Avec le tarif 1 :
40.50\times 2 = 81
Avec le tarif 2 :
31+32\times 2=95
Pour deux journées, Elliot doit débourser 81€ avec le tarif 1 et 95€ avec le tarif 2. C'est donc le tarif 1 le plus intéressant pour Elliot.

b) Si x est le nombre de journées de ski, alors avec le tarif 1, il devra payer :
40.5x
Tandis qu'avec le tarif 2, il devra payer :
31+32x
Le tarif 2 est le moins cher lorsque :
\begin{align*}
&31+32x<40.5x\\
&31<40.5x-32x\\
&31<8.5x\\
&x>\frac{31}{8.5}\\
\end{align*}
Or :
\frac{31}{8.5}\approx 3.65
donc le tarif 2 sera plus intéressant à partir de quatre journées de ski.

2)


a) Pour que le prix payé soit proportionnel au nombre de jours skiés, il faut que la représentation graphique soit une droite passant par l'origine du repère : c'est le cas avec le tarif 1.

b) Graphiquement, la différence de prix entre les deux tarifs pour 6 jours de ski est de 20€ (pointillés violets).

c) C'est le tarif 2 qui permettra d'obtenir le plus grand nombre de jours de ski. Graphiquement, il pourra passer une semaine (7 jours) au ski (pointillés rouges).

Exercice 6 (7 points)


1) Calcul du coefficient d'agrandissement du grand cône par rapport au petit cône :
k=\frac{AB}{A'B'}=\frac{60}{30}=2
Toutes les longueurs du petit cône sont multipliées par 2 pour obtenir celles du grand cône.
Calcul de la longueur SB :
\begin{align*}
&SB=k\times SB'\\
&SB=2\times SB'\\
&SB=2\times (SB-BB')\\
&SB=2SB-2BB'\\
&SB=2\times BB'\\
&SB=2\times 240\\
&SB=480\text{ cm}
\end{align*}
SB mesure 480 cm.

2) On calcule préalablement la longueur OB :
OB=\frac{1}{2}\times AB=\frac{60}{2}=30\text{ cm}
OB mesure 30 cm.
Le triangle OBS est rectangle en O donc d'après le théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&OB^{2}+OS^{2}=BS^{2}\\
&OS^{2}=BS^{2}-OB^{2}\\
&OS^{2}=480^{2}-30^{2}\\
&OS^{2}=230400-900\\
&OS^{2}=229500\\
&OS=\sqrt{229500}\\
&OS\approx 479\text{ cm (valeur arrondie au cm)}
\end{align*}
SO mesure approximativement 479 cm.

3) Volume du grand cône :
\begin{align*}
V_{\text{grand c\^one}}&=\frac{1}{3}\times\text{ aire de la base}\times\text{ hauteur}\\
&=\frac{\pi \times OB^{2}\times SO}{3}\\
&\approx \frac{\pi \times 30^{2}\times \sqrt{229500}}{3}\\
&\approx 451505\text{ cm}^{3}
\end{align*}
Comme on multiplie les dimensions du grand cône par 0.5 pour obtenir celle du petit cône, on multiplie son volume par 0.53 :
\begin{align*}
V_{\text{petit c\^one}}&=0.5^{3} \times V_{\text{grand c\^one}}\\
&\approx 0.125 \times 451505\\
&\approx 56438\text{ cm}^{3}
\end{align*}
Le volume de la manche à air est égal à la différence entre le volume du grand cône et celui du petit cône :
\begin{align*}
V_{\text{manche \`a air}}&=V_{\text{grand c\^one}}-V_{\text{petit c\^one}}\\
&\approx 451505-56438\\
&\approx 395067\text{ cm}^{3}
\end{align*}
Le volume de la manche à air est approximativement égal à 395 067 cm3.

Exercice 7 (5 points)

1) Coût total pour l'achat des forfaits avec la formule 1 :
187,5\times 2 + 162.5\times 2 = 375+325=700\euro
Coût total pour l'achat des forfaits avec la formule 2 :
120+6\times (25\times 2+20 \times 2)=660\euro
La formule 2 est la plus avantageuse pour l'achat des forfaits pour six jours.

2) Coût de la location du matériel de ski pour 6 jours :
6\times(17\times 2+10+19)= 378\euro
Récapitulons l'ensemble des dépenses :
Location de matériel : 378€
Location du studio : 1020€
Nourriture et sorties : 500€
Achat des forfaits : 660€
Le budget total est donc égal à :
378+1020+500+660=2558\euro
Le budget est de 2558€.
Correction du brevet des collèges Amérique du Nord 9 juin 2016
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