CORRECTION BREVET AMERIQUE DU NORD 2015

CORRECTION DU BREVET AMERIQUE DU NORD JUIN 2015

Exercice 1 (6 points)

Questions Réponses
1. Quelle est l'écriture scientifique de :
\frac{5\times 10^{6}\times 1.2\times 10^{-8}}{2.4\times 10^{5}}
25\times 10^{-8} 2.5\times 10^{-7} 2.5\times 10^{3}
2. Pour x=20 et y=5, quelle est la valeur de R dans l'expression :
\frac{1}{R}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}
0.25 4 25
3. Un article coûte 120€. Une fois soldé, il coûte 90€. Quel est le pourcentage de réduction ? 25% 30% 75%
4. On considère l’agrandissement de coefficient 2 d’un rectangle ayant pour largeur 5 cm et pour longueur 8 cm. Quelle est l’aire du rectangle obtenu ? 40 cm2 80 cm2 160 cm2

1) Réponse : 2.5\times 10^{-7}
\begin{align*}
\frac{5\times 10^{6}\times 1.2\times 10^{-8}}{2.4\times 10^{5}}&=\frac{5\times 1.2\times 10^{6} \times 10^{-8}}{2.4\times 10^{5}}\\
&=\frac{6\times 10^{6+(-8)}}{2.4\times 10^{5}}\\
&=\frac{2.5\times 10^{-2}}{10^{5}}\\
&=2.5\times 10^{-2-5}\\
&=2.5\times 10^{-7}
\end{align*}

2) Réponse : 4
\begin{align*}
&\frac{1}{R}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\\
&\frac{1}{R}=\frac{1}{20}+\frac{1}{5}\\
&\frac{1}{R}=0.05+0.2\\
&\frac{1}{R}=0.25\\
&R=\frac{1}{0.25}\\
&R=4
\end{align*}

3) Réponse : 25%
Montant de la réduction :
120 - 90 = 30
Le montant de la réduction est de 30€.
Calcul du pourcentage de réduction :
\frac{30}{120}=0.25=25\%

4) Réponse : 160 cm2
Si on multiplie les longueurs de ce rectangle par 2, alors on obtient un rectangle de longueur 16 cm et de largeur 10 cm. Son aire est alors égale à :
A=L\times l=16\times 10=160\text{ cm}^{2}
L'aire de ce rectangle après agrandissement est de 160 cm2.

Exercice 2 (4 points)



1)
a) La distance totale de l'étape est donnée par l'ordonnée du point I. Elle est de 190 kilomètres.

b) Le cycliste a parcouru les cent premiers kilomètres en 2.5 heures, soit 2 heures et 30 minutes.

c) La dernière demi-heure de course est celle comprise entre 4 heures et 4.5 heures. Au bout de 4 heures, il a parcouru 170 kilomètres. Au bout de 4 heures 30, il a parcouru 190 kilomètres. Par conséquent, lors de la dernière demi-heure, il a roulé sur 20 kilomètres.

2) Il n'y a pas proportionnalité entre la distance parcourue et la durée de parcours de cette étape car la représentation graphique n'est pas une droite. En effet, pour deux intervalles de temps identiques (1 heure par exemple), la distance parcourue n'est pas nécessairement la même : 30 kilomètres entre 1 heure et 2 heures, 60 kilomètres entre 2 heures et 3 heures. Le parcours était peut-être montagneux entre la première et la deuxième heure ce qui peut expliquer qu'il ait parcouru moins de kilomètres en une heure que sur d'autres créneaux horaires.

Exercice 3 (6 points)



1) La fréquence d’apparition de la somme 3 est de 15% d'après le graphique.

2) La fréquence d’apparition de la somme 1 est 0%. En effet, il est impossible d'obtenir 1 en lançant deux dés où la valeur minimale de la face est 1.

3)
a) Il y a deux possibilités : obtenir 1 sur le premier dé et 2 sur le second, ou alors obtenir 2 sur le premier dé et 1 sur le second.

b) Ensemble des possibilités : (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) et (4,4).
Il y a donc 16 possibilités, or seulement 2 d'entre-elles aboutissent à obtenir 3 comme somme d'après la question précédente. La probabilité d'obtenir une somme égale à 3 vaut :
\frac{2}{16}=0.125=12.5\%
La probabilité d'obtenir la somme 3 en lançant les dés est égale à 12.5%.
Ce résultat est différent de la fréquence observée car on a un échantillon de 1000 lancers. La fréquence 12.5% correspond en fait à la fréquence sur un nombre de lancés infinis.

Exercice 4 (4 points)

Appelons x le nombre de départ.
• Je pense à un nombre : x
• Je lui soustrais 10 : x-10
• J’élève le tout au carré : (x-10)^{2}
• Je soustrais au résultat le carré du nombre auquel j’ai pensé : (x-10)^{2}-x^{2}
• J’obtiens alors : −340 : (x-10)^{2}-x^{2}=-340
Nous devons donc résoudre l'équation suivante :
\begin{align*}
&(x-10)^{2}-x^{2}=-340\\
&x^{2}-20x+100-x^{2}=-340\\
&-20x+100=-340\\
&100+340=20x\\
&20x=440\\
&x=\frac{440}{20}\\
&x=22
\end{align*}
Le nombre de départ auquel je pense est 22.

Exercice 5 (4 points)



1) La phrase est "On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale."

2) Dans le triangle AMN, les points A, H et M sont alignés ainsi que les points A, L et N. De plus, les droites (HL) et (MN) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès :
\begin{align*}
&\frac{AH}{AM}=\frac{AL}{AN}=\frac{HL}{MN}\\
&\frac{720}{1000}=\frac{720}{1000}=\frac{270}{MN}\\
&0.72=\frac{270}{MN}\\
\end{align*}
On en déduit la longueur MN :
\begin{align*}
&MN=\frac{270}{0.72}\\
&MN=375\text{ m\`etres}
\end{align*}
La distance MN entre les deux motos est de 375 mètres.

Exercice 6 (4 points)

Classement NOM Prénom Pays d'origine Temps de course
de chaque coureur
1 NIBALI Vincenzo Italie 80 h 45 min
2 PINOT Thibaut France 80 h 52 min
3 PERAUD Jean-Christophe France 80 h 53 min
4 VALVERDE Alejandro Espagne 80 h 53 min
5 BARDET Romain France 80 h 55 min
6 VAN GARDEREN Tejay Etats-Unis 80 h 57 min
7 MOLLEMA Bauke Pays-Bas 80 h 59 min
8 TEN DAM Laurens Pays-Bas 81 h 00 min
9 KONIG Leopold République Tchèque 81 h 00 min

1) 81 h 00 min - 80 h 45 min = 15 min
15 minutes séparent Vincenzo Nibali (vainqueur) de Leopold Konig (9ème place).

2)
a) Il s'agit de l'étendue de la série.

b) Les valeurs de la série statistique sont rangées par ordre croissant et sont au nombre de 9. La médiane, qui est la valeur partageant la population étudiée en deux sous-ensembles de même effectif, sera par conséquent la 5ème valeur (4 avant, 4 après) : il s'agit de 80 h 55 min.

c) Transformons 80 h 52 min en heures :
80\text{ h }52\text{ min}=80\text{ h}+\frac{52}{60}\text{ h }\approx 80.87\text{ heures}
Thibaut Pinot a mis environ 80.87 heures pour boucler le Tour de France.
Calcul de la vitesse moyenne :
\begin{align*}
v&=\frac{d}{t}\\
&=\frac{3260.5}{80.87}\\
&\approx 40\text{ km/h (valeur arrondie au km/h pr\`es)}
\end{align*}
Thibaut Pinot a roulé à une allure moyenne d'environ 40 km/h.

Exercice 7 (8 points)




1) Calcul de la longueur AC
Etant donné que la pyramide est à base carrée, le triangle ABC est rectangle en B. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur AC :
\begin{align*}
&AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}\\
&AC^{2}=35.5^{2}+35.5^{2}\\
&AC^{2}=1260.25+1260.25\\
&AC^{2}=2520.5\\
&AC=\sqrt{2520.5}
\end{align*}
Calcul de la longueur HC
Les diagonales d'un carré se coupant en leur milieu, H est le milieu de [AC]. On en déduit la longueur HC :
HC=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{2520.5}}{2}=\frac{\sqrt{2520.5}}{\sqrt{4}}=\sqrt{\frac{2520.5}{4}}=\sqrt{630.125}\text{ m}
Calcul de la longueur HS
Etant donné que [HS] est la hauteur de la pyramide, le triangle HSC est rectangle en H. Connaissant les longueurs HC et CS, nous pouvons déterminer HS à l'aide du théorème de Pythagore :
\begin{align*}
&HS^{2}+HC^{2}=SC^{2}\\
&HS^{2}=SC^{2}-HC^{2}\\
&HS^{2}=33.14^{2}-(\sqrt{630.125})^{2}\\
&HS^{2}=1098.2596-630.125\\
&HS^{2}=468.1346\\
&HS=\sqrt{468.1346}\\
&HS\approx 21.64\text{ m (valeur arrondie au cm pr\`es)}
\end{align*}
La hauteur réelle de la pyramide du Louvre est de 21.64 mètres (valeur arrondie au cm)

2)
a) On va calculer les dimensions du patron de cette pyramide à l'échelle 1/800 :
\begin{align*}
&\text{AB=BC=CD=AD}=\frac{35.5}{800}\text{ m}=0.044375\text{ m}\approx 4.4\text{ cm (valeur arrondie au mm pr\`es)}\\
&\text{AS=BS=CS=DS}=\frac{33.14}{800}\text{ m}=0.041425\text{ m}\approx 4.1\text{ cm (valeur arrondie au mm pr\`es)}
\end{align*}

b) Patron

Correction brevet des collèges Amérique du Nord 9 juin 2015
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